三角不等式

的三角不等式表示三角形任意两条边的长度之和大于其余边的长度。

这是由两点之间的最短路径是直线这一事实得出的。如果三角形是非-，不等式是严格的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/degenerate/" class="wiki_link" title="简并" target="_blank">简并(意味着它有一个非零区域)。

如果一个非退化三角形的两条边长都相等 $6$第三条边长度的可能值是多少?

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让第三边有长度 $X$，然后根据三角形不等式 $6 + 6 > X$和 $6 + X > 6$,这意味着 $0 < X < 12。$任何实数 $X$这样 $0 < X < 12$是第三条边可能的长度。 $_ \广场$

如果一个非退化三角形的两条边分别是9和15，那么第三条边可能的长度是多少?

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让第三边有长度 $x > 0$．3个边必须满足

$\{数组}{c}开始x < 15 9 + 15日< x + 9,和9 < x + 15。\{数组}结束$

第三个不等式很简单地成立，前两个不等式成立 $6 < x < 24$． $_ \广场$

如果一个三角形的三个整数边是 $x + 2$， $2 x + 7$， $4 x + 1$的最大可能价值是什么 $x$？

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根据三角形不等式

$\{对齐}开始(x + 2) + (2 x + 7) > (4 x + 1) & \ Rightarrow x < 8 \ \ (x + 2) + (4 x + 1) > (2 x + 7) & \ Rightarrow x > \压裂{4}{3}\ \ (2 x + 7) + (4 x + 1) > (x + 2) & \ Rightarrow x > - \压裂{6},{5}\{对齐}结束$

这意味着 $\ displaystyle{\压裂{4}{3}< x < 8}。$所以最大可能的整数值 $x$是 $7$． $_ \广场$

鉴于 $5$各自长度的棒子 $1、3、5、9$和 $10$，三根棍子可以组成多少个不同的三角形?

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如果三角形的一边边长是 $1$，则不可能组合成三角形。事实上，如果三角形的三个边都是不同的整数长度，那么就不可能有一条边是单位长度。

如果一条边的长度是 $3.$，唯一可能的组合是 $(3、9、10)$．
如果一条边的长度是 $5$，唯一可能的组合是 $(5、9、10)$．
如果一条边的长度是 $9$，可能的组合是 $(9、3、10)$和 $(9、5、10)$．
如果一条边的长度是 $10$，可能的组合是 $(3) 10、9日$和 $(5) 10、9日$．

因为改变边的顺序并不会改变三角形本身，我们可以形成三角形 $2$不同的三角形。 $_ \广场$

三角不等式有如下公式，用的是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vector-introduction/" class="wiki_link" title="向量" target="_blank">向量在 ${} \ mathbb R ^ n$：

让 $\ mathbf x$和 $\ mathbf y$向量在 ${} \ mathbb R ^ n。$让 $\ | \ cdot \ |$表示向量的范数。然后 $\ | {x} \ mathbf + {\ mathbf y} \ | \ \ | {\ mathbf x }\| + \|{\ mathbf y} \ |。$

两边平方，减去: ${对齐}\ \开始离开(\ | {\ mathbf x }\| + \|{\ mathbf y} \ | \右)^ 2 - \ | {x} \ mathbf + {\ mathbf y} \ | ^ 2 & = \ | {x} \ mathbf \ | ^ 2 + \ | {\ mathbf y} \ | ^ 2 + 2 \ | {x} \ mathbf \ | \ | {\ mathbf y} \ | - - - - - - ({x} \ mathbf + {\ mathbf y}) \ cdot ({\ mathbf x} + {\ mathbf y }) \\ &= \|{\ mathbf x} \ | ^ 2 + \ | {\ mathbf y} \ | ^ 2 + 2 \ | {x} \ mathbf \ | \ | {\ mathbf y} \ | - - - - - - ({x} \ mathbf \ cdot {x} \ mathbf) -({\ mathbf y} \ cdot {\ mathbf y}) - 2 ({x} \ mathbf \ cdot {\ mathbf y}) \ \ & = 2 \ | {x} \ mathbf \ | \ | {\ mathbf y} \ | - 2 ({x} \ mathbf \ cdot {\ mathbf y}) \ \ & \通用电气0 \{对齐}结束$由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-schwarz-inequality/" class="wiki_link" title="cauchy - schwarz不平等" target="_blank">cauchy - schwarz不平等． $_ \广场$

注意等式在Cauchy-Schwarz中是成立的，当且仅当向量是平行的，这是三角形退化的条件。

上面的证明本质上与使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cosine-rule/" class="wiki_link" title="余弦定理" target="_blank">余弦定理:如果 $a, b, c$是三角形的两边， $c ^ 2 = ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cosθ(\),$右边是最大的 $\ cosθ(\)$是最小化的，即什么时候最小化 $1,$所以 $C ^2 = (a ^2+b^2-2ab(-1))$因此, $c \ le a + b$当且仅当长度两侧之间的夹角相等时 $一个$和 $b$是 $180 ^{\保监会}。$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间" target="_blank">度量空间

三角形不等式是广义距离函数的一个基本性质称为指标，用于构造<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间" target="_blank">度量空间．度规是一个函数 $d (x, y)$哪个从集合中取两个参数 $X$并得到一个非负实数，具有以下性质:

• $d (x, y) = 0$当且仅当 $x = y。$
• $d (x, y) = d (y、x)。$
• $d (x, y) + d通用电气(y, z) \ d (x, z)。$

第三个性质是三角形不等式，它在证明许多<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑" target="_blank">拓扑度量空间的性质。