热膨胀

这是任何物质的特性，当热量供给给它们时，它们会膨胀。在本维基中，我们将研究物质在不同情况下的膨胀。

你可能已经注意到，有时用金属盖子密封的瓶子拧得太紧了，以至于必须把盖子放在热水里一段时间才能打开盖子。我们这样做的原因是，它将允许金属盖膨胀，从而放松它，以轻松拧开。在液体的情况下，你可能已经观察到温度计中的水银上升时，温度计放在稍微温暖的水。如果我们把温度计从温水中取出，水银的水平又下降了。类似地，对于气体来说，在寒冷的房间里部分充气的气球放在温水中可能会膨胀到完全大小。另一方面，当一个充满气的气球浸在冷水中时，由于内部空气的收缩，气球会开始收缩。

我们的共同经验是，大多数物质遇热膨胀，遇冷收缩。体温的变化会引起身体尺寸的变化。由于温度的升高而引起的物体尺寸的增加被称为热膨胀．长度的展开式叫做线性膨胀．该区域的扩展被称为区域扩张．体积上的膨胀被称为体积膨胀．在固体中，所有这三种类型的膨胀都发生，而在液体中，只有体积膨胀是可能的。我们将在不同的部分讨论它们。

考虑一根初始长度\(l_\circ\)的杆，它由一种材料组成线性膨胀系数\α(\ \)。

如果杆受到温度升高\(\三角形T，\)，杆的长度增加，新的最终长度\(l\)由

\[l = l_\circ(1 + \alpha \三角形T).\]

杆的长度变化量(三角形l = l - l_\circ\)由

\[\三角形l = l_\circ \alpha \三角形T.\]

线膨胀系数是棒材材料的特性，因材料而异。其SI单位为\(K^{-1}\)。它一般在\(10^{-5}\)的数量级。某些材料在\(0^\circ\)到\(100^\circ\)温度范围内的\(\alpha\)值如下表所示:

\[开始\{数组}{c c | | |} \线\{{蓝}\ \颜色文本{材料}}和{{绿}\颜色\α~ \大(10 ^ {5}K ^{1} \大)}\ \ \线\ \文字{铝}& 2.5 \ \ \线\ \文字{黄铜}& 1.8 \ \ \线\ \文字{铁}& 1.2 \ \ \线\ \文字{铜}& 1.7 \ \ \线\ \文字{银}& 1.9 \ \ \线\ \文字{黄金}& 1.4 \ \ \线\ \文字{玻璃(Pyrex)} & 0.32 \ \ \线\ \文字{铅}& 0.29 \ \ \线\结束数组{}\]

从这个表中，比较玻璃和铜的\(\alpha\)值。我们发现，在同样的温度升高下，铜的膨胀速度大约是玻璃的五倍。通常，金属比非金属膨胀得更大，并且具有相对较高的\(\alpha\)值。

注意:非常重要的是，如果我们在同一材料上取任意两点，那么这两点的长度变化量由\(\三角形l = l_0 \阿尔法\三角形T\)给出，而不管两点之间是否有空腔。换句话说，无论是否存在空腔，身体的扩张都不受影响。

让我们考虑两根长度为\(l1 \)和\(l2 \)的棒，它们由不同的材料制成，它们的线性膨胀系数分别为\(\alpha_1\)和\(\alpha_2，\)。为了使两个长度之差与温度无关，

\[l_1\alpha_1 = l_2\alpha_2.\]

证明

设温度升高后的初始长度为\(l1 \)和\(l2，\)，则新的长度分别为\(l’\)和\(l”，\)。然后

\ [l ' = l1(1 +三角\ alpha_1 \ T) \四l”= l2(1 +三角\ alpha_2 \ T) \]

现在，让我们找出最终长度之差，即\(l’- l”:\)

\[开始\{对齐}l - l”& = l1 + l1三角形\ alpha_1 \ T - l2 - l2 \ alpha_2 \ T三角 \\ &= ({\ 颜色{粉红色}l1 - l2}) +三角\ T(\颜色{蓝}{l1 \ alpha_1 - l2 \ alpha_2})。结束\{对齐}\]

要使长度差与温度无关，\(\color{blue} \text{系数}\三角形T\)必须为\(0:\)

\[l_1\alpha_1 - l_2\alpha_2 = 0.\]

因此，我们得到的最终条件是

\[l_1\alpha_1 = l_2\alpha_2。广场\ _ \ \]

一个铁匠在牛车木轮的边缘上固定一个铁环。轮辋和铁环的直径分别为\(5.243\text{m}\)和\(5.231\text{m}，\)，在\(27\，^\circ\text{C}.\)应该将环加热到什么温度才能适合车轮的边缘?\ (\ alpha_{\文本{铁}}= 1.2 \ * 10 ^ {5}~ K ^{1} \)。

回答

我们给出\ (T_1 = 27 \ ^ {C} \保监会\文本,l_ \保监会= 5.231 l = 5.243 \)。所以,

\[开始\{对齐}l & = l_ \保监会α(1 + \ \三角形T) \ \ & = 5.231 \大(1 + 1.2 \ * 10 ^ {5}(T - 27) \大)\ \ \ \ \ Rightarrow & T = 218 \ ^ {C} \保监会\文本。\ _\square \end{align}\]

如果铜棒长度增加1%，铜棒的温度应该增加多少，给定\(\alpha_{\text{brass}} = 0.00002 /^\circ\text{C}?\)

回答

如果长度增加1%，则意味着\(\triangle l = \frac{1}{100}l_\circ\)。我们知道

\[开始\{对齐}\三角形l & =αl_ \保监会\ \ T三角\ \ \ dfrac {1} {100} l_ \保监会& = l_ \保监会\α\ T三角\ \ \ \ \ Rightarrow \三角形T & = \ dfrac{1}{100 \α } \\\\ & = \ dfrac {1} {2 \ * 10 ^ {3 }} \\\\ & = ^ 500 \ \中国保监会\ {C}的文本。\ _\square \end{align}\]

一个复合棒是由两根或两根以上不同材料的棒材首尾相连而成的棒材。下面的例子是基于复合杆的:

一根长\(50\text{cm}\)、直径\(3.0\text{mm}\)的铜棒，在\(40\，^\circ\text{C}.\)处与一根长、直径相同的钢棒相连，给定\(\alpha_{circ\text{黄铜}}= 2 \乘以10^{-5}/^\circ\text{C}， \alpha_{\text{steel}} = 1.2 \乘以10^{-5}/^\circ\text{C}?\)

回答

我们有

\[\begin{align} \三角形L_{\text{combined}} & = \三角形L_{\text{brass}} + \三角形L_{\text{steel}} \\ & = \alpha_b L_b \三角形T \ & = (\alpha_b L_b + \alpha_s L_s) \三角形T \\ & = \big(2 \乘10^{-5}\乘0.5 + 1.2 \乘10^{-5}\乘0.5\big)(250 - 40) \\ & = 0.0034\text{m} = 0.34\text{cm}.\end{align}\]

因此，组合杆的新长度为\(50 + 50 + 0.34 = 100.34\text{cm}.\) \(_\square\)

考虑一个由材料组成的表面积(A_\circ\)的物体面积扩张系数β\(\ \)。

如果物体受到温度升高\(三角形T \)的影响，物体的表面积就会增加，新的表面积\(a \)由

\[A = A_\circ(1 + \beta \三角形T).\]

物体表面积(\triangle A = A - A_\circ\)的变化由

\[\三角形A = A_\circ \beta \三角形t \]

考虑一种体积为(V_\circ\)的物质，它由的物质组成体积膨胀系数\γ(\ \)。

如果物体受到温度升高\(三角形T \)的影响，该物体的体积就会增加，新的体积\(V\)由

\[V = V_\circ(1 + \gamma \三角形T).\]

物体体积的变化\(\三角形V = V - V_\circ\)由

\[\三角形V = V_\circ \gamma \三角形t \]

注意:任何物体受热时，其质量不变。但是体积变了。为了弥补这一点，身体的密度也会发生变化:

\[\begin{align} m &= Vd ~ (\text{constant}) \\ V_1d_1 &= V_2d_2 \ V_\circ d_\circ &= V_\circ(1 + \gamma \triangle T)d \\ \Rightarrow d &= \dfrac{d_\circ}{1 + \gamma \triangle T}。\ \ \{对齐}结束\]

各向同性物质是指

\[\boxed{\gamma = \dfrac32 \beta = 3 \alpha}，\]

其中\(\alpha， \beta， \gamma)分别为线性膨胀系数，面积膨胀系数和体积膨胀系数。也可以写成

\[\beta = 2 \alpha， \quad \gamma = 3 \alpha.\]

一个薄黄铜容器和一个实心黄铜立方体的体积都是1升(0\，^\circ\text{C}\)。\(25\， ^\circ\text{C}， \)给定\(\alpha_{\text{brass}} = 1.9 \乘以10^{-5}/^\circ\text{C}?\)，容器和立方体的体积会发生什么变化?

回答

我们有

\[\begin{align} \三角形V & = V_o (\gamma) \三角形T \\ & = V_o (3\alpha) \三角形T \\ & = 1 \乘以3\乘以1.9 \乘以10^{-5}\乘以(25 - 0)\\ & = 0.001425\ \text{升}。\ _\square \end{align}\]

考虑一个装有液体的容器。当我们加热它时，不仅是液体，而且玻璃或金属容器也会膨胀。实际上，如果容器是不可膨胀的，那么我们会看到更多的液位上升。这叫做真正的扩张．但由于容器的膨胀，它的背部可以容纳更多的液体，液体上升的水平会更小。这叫做明显的扩张．我们可以把视展开的关系式写成

\[\开始{对齐}\三角形V_{\文本{应用}}& = \三角形V_{\文本{液体}}- \三角形V_{\文本{容器}}\ \ V_o \ gamma_{\文本{应用}}\三角形T & = V_o \ gamma_文本{l}}{\ \三角形T - V_o \ gamma_文本{g}} {\ \ T三角\ \ \ gamma_{应用}& = \ gamma_{\文本{l}} - \ gamma_{\文本{g}},{对齐}\结束\]

其中\(\gamma_{\text{app}}\)是视膨胀系数，\(\gamma_{\text{l}}\)是(液体的)实膨胀系数，\(\gamma_{\text{g}}\)是玻璃(或任何其他金属)容器的膨胀系数。

一个装满汞的玻璃容器的体积是500cc，当温度从\(25^\circ \)升高到\(45^\circ，\)时，在给定的\(\gamma_{Hg} = 1.8 \乘以10^{-4}/^\circ\text{C}， \gamma_g = 9 \乘以10^{-6}/^\circ\text{C}?)

回答

我们有

\[开始\{对齐}\三角形V_{\文本{流出}}& = \三角形V_{\文本{Hg}} {g - \三角形V_{\文本 }} \\ & = V_o \ gamma_文本{Hg}}{\ \三角形T - V_o \ gamma_文本{g}} {\ \ T三角\ \ & = V_o (\ gamma_{\文本{Hg}} - \ gamma_{\文本{g}}) \ T三角\ \ & = 500(180 - 9)\ \倍乘以10 ^{6}\乘以20 \ \ & = 1.71 \文本{cc}。\ _\square \end{align}\]

钟摆只有在制造它的温度下才会显示正确的时间。钟摆的时间周期是温度的函数。这意味着时间周期随着温度的变化而变化。这背后的原因是由金属制成的摆丝的长度随着温度的变化而变化。但是，时间上的误差是可以计算出来的。

在\(t_\circ\)的时间周期内，三角形t\的时间误差由

\[\三角形t = \dfrac{t_\circ \alpha \三角形t}{2}，\]

其中\(\alpha\)是摆丝的线性膨胀系数，\(\三角形T\)是温度的变化。

证明

让我们考虑一个摆，它的初始长度是\(l_\circ\)。钟摆的初始时间周期由\(t_\circ = 2 \pi \√{\frac{l_\circ}{g}}\)给出。如果温度增加\(\三角形T，\)，那么钟摆的最终长度将是\(l = l_\circ(1 + \alpha \三角形T)\)和它的时间周期\(T = 2 \pi \√{\frac{l}{g}}\)。因此，时间\(\三角形t\)的误差将是\((t - t_\circ):\)

\[\begin{align} t & = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \ & = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l_\circ}{g}} \\ & = {\color{蓝色}2 \pi \sqrt{\dfrac{l_\circ}{g}} (1 + \alpha \triangle t) ^\frac12 \\ & = {\color{blue}t_\circ} \左(1 + \ dfra12 \alpha \triangle t \右)\qquad \qquad (\text{As} \alpha \triangle t \text{非常小，我们可以使用二项式近似。})\\\\ t - t_\circ & = \dfrac{t_\circ \alpha \triangle t}{2} \\\\ \右tarrow \triangle t & = \dfrac{t_\circ \alpha \triangle t}{2} \quad \text{或}\quad \dfrac{\triangle t}{t_\circ} = \dfrac{\alpha \triangle t}{2}。\ _\square \end{align}\]

• 如果温度较低\(\暗示\)时间周期将较短\(\暗示\)时钟将走得更快\(\暗示\)时钟将获得时间。
• 如果温度越高\(\暗示\)时间周期就越长\(\暗示\)时钟就会走得越慢\(\暗示\)时钟就会变慢。

一个钟有一个由黄铜制成的钟摆，它的周期被调整为1秒，在\(20\，^\circ\text{C}\)。如果时钟运行在\(30\，^\circ\text{C}，\)，给定\(\alpha_{\text{brass}} = 19.6 \乘以10^{-6}/^\circ\text{C}?\)，一周后的误差会是多少?

回答

我们有

\[\begin{align} \dfrac{\triangle t}{t} & = \dfrac12 \alpha \triangle t & = \dfrac12 \alpha \triangle t \cdot t \& = \dfrac12 \乘以19.6 \乘以10^{-6}\乘以10 \乘以下括号{7 \乘以86400}_{\text{1周}}\\& = 59.32\ \text{秒}\\\\& \约1\ \text{分钟}。\ _\square \end{align}\]

给定\(\alpha_{\text{brass}} = 2 \乘以10^{-5}/^\circ\text{C}?\)，铜钟在某一\(T\)上保持正确的时间，应将\(T\)的距离控制在多近才能使手表在一天中不走快或走慢1秒?

回答

给定\(t = 1\text{day} = 86400\text{seconds}\)和\(\triangle t = \dfrac{t}{2} \alpha \triangle t，\)

\[\begin{align} |\triangle t| & \leq 1\text{second} \\ \\ left |\ dfrac{t}{2} \alpha \triangle t \right | & \leq 1\ \dfrac12 \times 86400 \times 2 \times 10^{-5} \times |\triangle t| & \leq 1\ \ |\triangle t| & \leq 1.15\， ^\circ\text{C}。\ _\square \end{align}\]

金属秤只有在制造温度下使用时才能显示正确的读数。当在所有温度下使用时，它可能显示小于实际读数(由于收缩)，也可能显示大于实际读数(由于膨胀)。一般来说，金属水垢受热膨胀。结果，所有的标记都从它们通常的正确位置被移位。因此，如果一个标尺显示某个物体在较高温度下的长度为10厘米，我们应该理解为它是\(10(1 + \alpha \triangle T)\text{cm}\)，反之亦然，如果温度较低。所以,

\[\text{(实际长度)=(刻度读数)}\times (1 + \alpha \三角形T).\]

米尺是由钢制成的，刻度为\(20\，^\circ\text{C}.\)，如果刻度为\(10\，^\circ\text{C}，\)，给定\(\alpha_{\text{steel}} = 1.1 \乘以10^{-5}/^\circ\text{C}.\)，找出50厘米到51厘米之间的距离。

回答

我们有

文本\[\开始{对齐}\{(实际长度)}& = l_oα(1 + \ \三角形T) \ \ & = 1 \大(1 + 1.1 \ * 10 ^{5}\ *(-10)\大)\ \ & = 1 \大(1 - 11 \ * 10 ^{5}\大)\ \ & = 1 - 0.00011 \ \ & = 0.99989 \文本{厘米}。\ _\square \end{align}\]

双金属片:

如果将两条长度相等但金属不同的金属条相互放置并铆接，这样形成的单条称为双金属条。由于两种金属的不等线性膨胀，该带材具有加热弯曲的特性。带材将与外侧(或凸侧)线膨胀系数较大的金属弯曲。适用于自动切割或电熨斗等电热电路中的恒温器。