似中线

一个似中线三角形的中值在等分线上的反射。

在上图中， $我$而且 $广告$三角形的中值和中值是多少 $美国广播公司$，分别与 $\角度BAD = \角度凸轮$．

最流行的绘制三角形对称性的方法是这样的:

让 $美国广播公司$是圆心圆圆内的三角形 $O$．画圆的切线 $(O)$在 $B$而且 $C$，它们在某点相遇 $P$．然后 $美联社$是三角形的对称性吗 $美国广播公司$．

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下面是我们如何证明画法:

让 $我$是三角形的中值 $美国广播公司$．让 $D$是直线的交点 $美联社$这个圆 $(O)$．让 $E$从垂直的脚开始 $O$来 $广告$．然后 $E$是线段的中点吗 $广告$．

$\角OEP = \角OBP = 90^\circ，$所以 $OEBP$是一个圆四边形。这给了我们 $\角度BEP =\角度BOP =\frac 12 \角度BOC =\角度BAC$．同时, $\角度BDA = \角度BCA，$我们有一个三角形 $床上$和三角形 $BAC$是相似的。但 $E$而且 $米$都是中点 $广告$而且 $公元前$分别;因此,三角形 $汇业银行$和三角形 $MCA$是相似的，或者 $\角度BAD = \角度MAC$．

因此, $广告$是三角形的对称性吗 $美国广播公司$． $_ \广场$

还有另一种方法来画三角形的对称性:

让 $美国广播公司$是圆心圆圆内的三角形 $O$．在点处画圆的切线 $一个$，切线 $公元前$点 $K$．从 $K$，在点处画圆的切线 $D$．然后 $广告$是三角形的对称性吗 $美国广播公司$．

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下面是我们如何证明画法:

让 $H$是…的交集 $好吧$而且 $广告$．因为 $卡$而且 $KD$是从 $K$圆， $好吧$垂直于 $广告$, $H$是线段的中点吗 $广告$．

我们有 $KB \ * KC = (KA)^2$ $（$点的力量 $K)。$但 $(KA)^2 = KH \乘以KO，$所以 $KB \乘以KC = KH \乘以KO$，这使得 $BHOC$一个圆四边形，这意味着 $\角度KHB = \角度OCK$．

现在, $哦\ *好= (OA) ^ 2 = (OC) ^ 2 \意味着\压裂{哦}{OC} = \压裂{OC}{好}$．因此,三角形 $OHC$类似于三角形 $内涵,$或 $\角度OHC = \角度OCK = \角度KHB表示\角度BHD = \角度CHD = \frac12 \角度BHC$．

但是, $\角BHC = \角BOC$ $（$圆四边形的性质 $BHOC)$ $\表示\角度BHD = \frac12 \角度BOC = \角度BAC$．最后一部分与上面的例子相同。 $_ \广场$

从以上两个问题，我们可以得出以下结论:

让 $米$是圆心圆外的一点 $O$．画切线 $妈$而且 $MB$到圆和线 $价格上调$与圆相交于 $C$而且 $D$．然后线 $AB$圆的切线在 $C$而且 $D$同意这种说法。

让 $美国广播公司$是圆心圆圆内的三角形 $O$和中位数 $我$．让 $(I_1)$是一个穿过的圆 $B$而且 $米$它与直线相切 $AB$．让 $(I_2)$是一个穿过的圆 $C$而且 $米$它与直线相切 $交流$．证明 $(O), (I_1)$, $(I_2)$同意这种说法。

来源:高中人才选拔考试，HCMC，越南。

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(你可能会惊讶于这三个圆的交点与symmedian有关。)

画symmedian $广告$三角形的 $美国广播公司$，带点 $D$躺在圆圈上 $(O)$．扩展 $我$相交 $(O)$点 $E$．因为 $广告$而且 $我$三角形的中值和中值是对称的吗 $美国广播公司$分别 $\角度BAD = \角度CAE \暗示\stackrel \皱眉{BD} = \stackrel \皱眉{CE}$．因此, $BDEC$是一个等腰梯形。这给了我们 $Bd = ce$而且 $\角CBD = \角BCE$．

现在，看看三角形 $BDM$而且 $杰姆$．很明显，它们是一致的。所以, $\角度BDM = \角度AEC = \角度ABC$,或 $AB$的圆周相切吗 $BDM$．

但是, $(I_1)$是穿过的圆吗 $B、M$相切于 $AB$，也就是说， $(I_1)$是圆的 $BDM;$或 $(I_1)$通过点 $D$．

因此, $(I_2)$也通过点 $D$．我们已经证明了这三个圆重合于 $D$． $_ \广场$

考虑下面的图:三角形 $美国广播公司$圆心的:以圆心为中心的圆的 $O$． $广告$而且 $我$三角形的中值和中值分别是 $（$点 $D$躺在圆上 $）.$ $广告$相交 $公元前$在 $N$．让 $BC = a, CA = b, AB = c$．

我们的目标是计算 $Nb nc ad，$而且 $一个$．

计算 $注$而且 $数控,$我们可以使用这个结果:

让 $美国广播公司$做一个三角形。 $M, N$点在吗 $公元前$这样 $\角度BAN = \角度凸轮$．然后 $\压裂{NB}{数控}\ * \压裂{MB} {MC} = \压裂{(AB) ^ 2} {(AC) ^ 2}$．

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从 $C,$画一条平行的线 $AB$，它相交 $我,一个$在 $E, F$,分别。然后 $\角CAM = \角BAN = \角CFA$，得到三角形 $东航$和三角形 $CAF \表示CE \乘以CF = (CA)^2$．

根据截距定理， $\压裂{NB}{数控}= \压裂{AB} {CF}$而且 $\压裂{MB} {MC} = \压裂{AB} {CE}$．把它们相乘，得到 $\ dfrac {NB}{数控}\ * \ dfrac {MB} {MC} = \ dfrac {AB ^ 2} {CE \ * CF} = \ dfrac {AB ^ 2} {AC ^ 2}。\ _ \广场$

如果 $一个,是$三角形的中值和正中值是多少 $美国广播公司$，分别，然后 $\角度BAN = \角度凸轮$．利用上述结果，我们有 $\压裂{NB}{数控}\ * \压裂{MB} {MC} = \压裂{c ^ 2} {b ^ 2}$．但 $\压裂{MB} {MC} = 1$，所以方程变为

$\ dfrac {NB}{数控}= \ dfrac {c ^ 2} {b ^ 2}。$

我们把方程写成这种形式 $\压裂{NB} {c ^ 2} = \压裂{数控}{b ^ 2} = \压裂{一}{b c ^ ^ 2 + 2}$．因此,

$NB = \ dfrac ac ^ {2} {b c ^ ^ 2 + 2},数控= \ \四dfrac {ab ^ 2} {b c ^ ^ 2 + 2}。$

现在，为了计算 $广告$、三角 $ABD$和三角形 $AMC$是相似的，所以 $c \压裂{}{我}= \压裂{广告}{b},$这给了

$公元前广告= \ dfrac{}{}。$

但是, $我= \压裂{\√6 {2 (b) ^ 2 + c ^ 2)——^ 2}}{2}$(见重心)，则方程变为

$公元前广告= \ dfrac{2}{\√6 {2 (b) ^ 2 + c ^ 2)——^ 2}}。$

最后一件事是计算 $一个$．让 $AN = x，$然后 $DN = AD - x$．所以,

$NA \乘以ND = NB \乘以NC\ (\text{点N的幂)\暗示x(AD - x) = NB \乘以NC。$

解这个二次方程，我们有

$AN = x = \dfrac{AD + \√{AD^2 - 4NB \乘以NC}}{2}。$

• 三角形的对称点

• 等角的线