让
D(n!)=⌊5n⌋!×2⌊5n⌋×(n米od5)!.
如果
⌊5n⌋!足够小,那么的个位数
D(n!)的最右边非零位的值
n!.
否则,我们求的个位数
2⌊5n⌋×(n米od5)!,我们称之为
d1.现在我们解
D(⌊5n⌋!).如果我们得到一个足够小的值
⌊51⋅⌊5n⌋⌋!,然后求的个位数
D(⌊5n⌋!)
(调用这个
d)最后的答案是
d1×d.
如果这样的情况没有出现,那么我们就继续迭代
D(⌊51⋅⋯⌊51⋅⌊51⋅⌊51⋅⌊5n⌋⌋⌋⌋⋯⌋!
值的表达式=米!)并记录乘积的个位数
2一个我×(b我米od5)!
(在哪里
一个我而且
b我的原始定义是什么
D(n!))并叫他们
{d1,d2,⋯,dk}.一旦我们得到一个足够小的值
米!的个位数
D(米)
(调用这个
d)最后的答案是
我=1∏kd我×d.
(这里足够小的值
米!是指
米∈{1,2,3.,4}.)
我们第一次扩大
n!作为
n!=1×2×3.×4×5×6×⋯×(n−2)×(n−1)×n.
现在我们的目标是收集所有5的倍数
n!然后把剩下的项按四个连续整数分组。请注意,会有
⌊5n⌋5英寸的倍数
n!.
因此
n!=(5×10×15×20×⋯×(5⌊5n⌋))×(1×2×3.×4)×(6×7×8×9)×⋯=(5⌊5n⌋×⌊5n⌋!)×(1×2×3.×4)×(6×7×8×9)×⋯.
我们知道它的价值
n!低质数的分布总是大于或等于高质数的分布。因此,我们知道我们可以找到一个倍数
2⌊5n⌋(或2的更高的指数)从每组连续的4个整数(它们都是5的非整数倍数)中提取。
还要注意,对于5的连续非倍数,我们有
(5k+1)(5k+2)(5k+3.)(5k+4)=625(k4+k2)+10(125k3.+25k2+25k)+24.(∗)
现在
k4+k2偶数是否同时表示偶数和奇数
k.这表明
625(k4+k2)能被
10对于所有非负整数
k因此,上面的表达式在
蓝色的能被
10对所有
k.因此,5的四个连续非整数倍数的乘积,在计算时,其个位数总是4。
所以,如果我们从给定的四组中提取出所有2的倍数
(这也
⌊5n⌋在数量上
),我们知道每一组将贡献一个个位数为2的产品。
因此
(的最右边非零位n!)=5⌊5n⌋×⌊5n⌋!×2⌊5n⌋×(2×2×2×2×⋯⌊5n⌋次)×(n米od5)!=⌊5n⌋!×2⌊5n⌋×(n米od5)!.
(注意,如果
⌊5n⌋!不够小,则需要遵循迭代。
)
最后一个学期
(所示
红色的)来自于
n可以是任何一种形式吗
5k,5k+1,5k+2,5k+3.,5k+4因此可能是也可能不是四人组的一员。在这种情况下,当它不在一组4,它将在一组
(n米od5).例如,如果
n=12,4组是
(1,2,3.,4)而且
(6,7,8,9).剩下的数字是
(11,12),其中12个被包括在
(12≡2米od5).最后一组中的整数的乘法
n它的个位数会等于的个位数吗
(n米od5)!.这个结果可以用类似的方法证明
(∗).
这就完成了我们的证明。
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