勾股定理的证明

鉴于其悠久的历史，有许多证据（超过350个）证明了这一点勾股定理，可能比任何其他数学定理都要多。

下面的证明并非详尽无遗，主要根据证明中使用的方法进行分组。

毕达哥拉斯证明

给定任何有腿的直角三角形 $A.$和 $B$斜边和斜边 $C$像上面一样，使用其中四个来制作一个有边的正方形 $a+b$如下图所示：

这将在中心形成一个边长为的正方形 $C$因此是一个 $c^2。$

但是，如果我们按如下方式重新排列四个三角形，我们可以看到较大正方形内的两个正方形，一个是 $a^2$在区域和一个 $b^2$面积：

因为较大的正方形在两种情况下具有相同的面积，即。 $（a+b）^2$，由于这四个三角形在这两种情况下也是相同的，我们必须得出结论，这两个正方形 $a^2$和 $b^2$实际上，它们的面积等于较大的正方形 $c^2$.

因此 $a^2+b^2=c^2$. $_\方格$

欧几里得证明

在大纲中，这里是如何证明几何原本收益大正方形分为左矩形和右矩形。将构造一个三角形，其面积为左矩形的一半。然后构造另一个三角形，其最左侧面积为正方形面积的一半。这两个三角形是全等的，证明这个正方形和左矩形的面积相同。此参数后面是右矩形和剩余正方形的类似版本。把这两个长方形放在一起改造斜边上的正方形，其面积与其他两个正方形的面积之和相同。详情如下。

允许 $A、 B，C$是直角三角形的顶点 $A.$将垂线从 $A.$到三角形斜边对面的正方形边（如下所示）。这条线将斜边上的正方形分成两个矩形，每个矩形的面积与腿上的两个正方形的面积相同。

对于形式证明，我们需要四个基本引理：

1. 如果两个三角形的一条边的两条边与另一条边的两条边相等，并且这些边包含的角度相等，则三角形是全等的（边角边）。
2. 三角形的面积是任何平行四边形面积的一半，在同一基底上，具有相同的高度。
3. 矩形的面积等于两个相邻边的乘积。
4. 正方形的面积等于其两条边的乘积（从3开始）。

接下来，每个顶部正方形与一个三角形相关，该三角形与另一个三角形全等，该三角形依次与构成下部正方形的两个矩形之一相关。

允许 $ACB$是具有直角的直角三角形 $驾驶室$.

两边 $卑诗省$, $AB$和 $加利福尼亚州$，绘制正方形： $CBDE$, $袋$和 $阿奇$，按那个顺序。正方形的构造需要欧几里德中紧跟在前面的定理，并且依赖于平行假设。

从…起 $A.$，画一条平行于 $屋宇署$和 $总工程师$. 它将垂直相交 $卑诗省$和 $判定元件$在 $K$和 $L$分别地

参加 $查阅$和 $公元$，形成三角形 $BCF$和 $BDA$.

角 $驾驶室$和 $纸袋$都是直角；因此 $C$, $A.$和 $G$它们是共线的。同样适用于 $B$, $A.$和 $H$.

角 $中央商务区$和 $FBA$都是直角；因此角度 $阿布德$等角 $FBC$，因为两者都是直角和角的和 $基础知识$.

自从 $AB$等于 $食品饮料$和 $屋宇署$等于 $卑诗省$三角形 $阿布德$必须与三角形全等 $FBC$.

自从 $A.$- $K$- $L$是一条与直线平行的直线吗 $屋宇署$长方形 $BDLK$面积是三角形的两倍 $阿布德$因为他们共享基地 $屋宇署$并且有相同的高度 $BK$，即一条垂直于其公共基底的线，连接平行线 $屋宇署$和 $艾尔$.（引理2）

自从 $C$与…共线 $A.$和 $G$广场 $袋$面积必须是三角形的两倍 $FBC$.

因此，矩形 $BDLK$必须具有与正方形相同的面积 $巴格夫，$那是 $AB^2。$

类似地，可以显示该矩形 $克勒$必须具有与正方形相同的面积 $亚齐，$那是 $AC^2。$

加上这两个结果,， $AB^2+AC^2=BD\乘以BK+KL\乘以KC。$

自从 $BD=KL$, $BD×BK+KL×KC=BD（BK+KC）=BD×BC。$

因此 $AB^2+AC^2=BC^2$自从 $CBDE$这是一个正方形。 $_\方格$

使用相似三角形

允许 $基础知识$表示直角三角形，直角位于 $C$，如图所示。从点绘制高度 $C$，并致电 $D$它与侧面相交 $AB$. 指向 $D$除以斜边的长度 $C$分成几部分 $D$和 $E$. 新三角 $ACD$类似于三角形 $基础知识$，因为它们都有一个直角（根据高度的定义），并且它们在 $A.$，表示第三个角度 $($我们称之为 $\θ）$在两个三角形中也是一样的。通过类似的推理，三角形 $中央商务区$也类似于三角形 $基础知识$. 三角形相似性的证明需要三角形公设：三角形中的角之和是两个直角，与平行公设等价。三角形的相似性导致相应边的比率相等：

$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{BD}{BC}~~\text{and}~\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{AC}。$

第一个等式中的分数是角的余弦 $\西塔$，而处于第二等分的人是他们的同胞。这些比率可以写成

$BC^2=AB\times BD~~\text{and}~~AC^2=AB\times AD。$

将这两个等式相加得到

$AC^2+BC^2=AB（BD+AD）=AB^2。$

因此

$AC^2+BC^2=AB^2.\_\广场$

使用4组三角形的两个代数证明

这个定理可以用一个有边的直角三角形的四个副本用代数方法证明 $A.$, $B$和 $C$安排在一个正方形内，有侧边 $C$如图的上半部分所示。三角形与面积相似 ${\frac{1}{2}ab}$，而小正方形有边 $b-a$及面积 $（b-a）^2$. 因此，这个大广场的面积很小

$（b-a）^{2}+4{\frac{ab}{2}}=（b-a）^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}。$

但这是一个有边的正方形 $C$及面积 $c^2$所以

$c^{2}=a^{2}+b^{2}。$

类似的证明使用了同一三角形的四个副本，它们对称地排列在一个有c边的正方形周围，如图下部所示。这将产生一个更大的正方形，带有侧边 $a+b$及面积 $（a+b）^2$. 四个三角形和有边的正方形 $C$必须具有与较大正方形相同的面积：

$（b+a）^{2}=c^{2}+4{\frac{ab}{2}}=c^{2}+2ab，$

给

$c^{2}=（b+a）^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}。$

未来的美国总统詹姆斯·加菲尔德（James A.Garfield）发表了相关证据。它不使用正方形，而是使用一个梯形，该梯形可以通过沿着内部正方形的对角线平分，从上述第二个证明中的正方形构造而成，从而得到如图所示的梯形。梯形的面积可以计算为正方形面积的一半，即，

${\frac{1}{2}}（b+a）^{2}。$

内部正方形类似地被减半，并且只有两个三角形，因此除了系数为外，证明过程如上所述 $\分形{1}{2}$，将其乘以2得到结果。 $_\方格$