Product-to-Sum三角公式

Product-to-sum三角公式在用乘积项来简化三角表达式时很有帮助吗 $（$如 $sin A sin B, sin A cos B，$或 $因为A因为B)$把它转换成和。

完整的积对和三角公式列表如下:

${对齐}\ \开始因为\因为B & = \压裂{1}{2}\大(\ cos (A - B) + \ cos (A + B) \大)罪\ \ \ \因为B & = \压裂{1}{2}\大(\罪(A - B) + \罪(A + B) \大)\ \ \因为罪\ B & = \压裂{1}{2}\大(\罪(A + B) - \罪(A - B) \大)\ \ \罪一罪\ B & = \压裂{1}{2}\大(\ cos (A - B) - \ cos (A + B) \大)。结束\{对齐}$

通过观察，可以得到积到和的公式和和差分公式正弦和余弦看起来很相似除了中间的符号相反。然后通过组合表达式，我们可以消去一些项。

我们有

$\begin{aligned} \cos(A + B) + \cos(A-B) &= (cos A \cos B - sin A \sin B) + (cos A \cos B + sin A \sin B)\\ &= 2 \cos A \cos B \\ Rightarrow \frac{1}{2} \big(\cos(A + B) + cos(A-B)) &= cos A \cos B \end{aligned}$

右边是cos项的乘积，而左边是cos项的和。 $_ \广场$

使用 $\ cos (a + b)$和 $\ cos (a - b)$身份,我们有

$\开始{对齐}\压裂{1}{2}\大(\ cos (a - b) - \ cos (a + b) \大)& = \压裂{1}{2}\大((\因为罪一罪\因为b + \ \ b)——(\因为罪一罪\因为b - \ \ b) \大)\ \ & = \压裂{1}{2}(2罪罪\ \ b) =罪\ \ b。罪\结束{对齐}$

因此, $罪罪\ \ b = \压裂{1}{2}\大(\ cos (a - b) - \ cos (a + b) \大)。\ _ \广场$

评估 $\罪(75 ^ \保监会)\ cos(15 ^ \保监会)$．

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我们知道 $罪\ \因为B = \压裂{1}{2}\大(\罪(A - B) + \罪(A + B) \大)。$替换 $一个= 75 ^ \保监会$和 $B = 15 ^ \保监会$,我们得到

$\开始{对齐}\罪(75 ^ \保监会)\ cos(15 ^ \保监会)& = \压裂{1}{2}\大(\罪(75 ^ \ circ-15 ^ \保监会)+ \罪(75 ^ \保监会+ 15 ^ \保监会)\大)\ \ & = \压裂{1}{2}(60 ^ \保监会+ \ \罪罪90 ^ \保监会)\ \ & = \压裂{1}{2}\离开(\压裂{\ sqrt{3}}{2} + 1 \右)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

表达 $\ sin (x) \罪(2 x) \ cos(3倍)$作为基本三角函数的和(解不应包括任何三角函数的乘积)。

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积与和公式可以帮助解决涉及三角比乘积的积分问题。

集成 $int \ \ !sin3x cos 4x, mathrm{d}x。$

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这个问题一开始可能看起来很难，但在使用了积和三角公式之后，这个积分很快就变成了a标准形式．

用上面的第一个公式，积分等价于

$\开始{对齐}\幻影{=}\ int \压裂{1}{2}\大(\罪(3 x - 4 x) + \罪(3 + 4 x) \大),\ \ mathrm {d} int x & = \ \压裂{1}{2}\大(\罪(- x) + \ sin (x) 7日\大),\ \ mathrm x \ \ & = \ d{}压裂{1}{2}\离开(\因为x - \压裂{\ cos 7 x}{7} \右)+ C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$