三角函数集成

我们在维基上看到了三角函数的衍生物的衍生品 $\ sin (x)$和 $\ cos x：$

$\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ sin ax = a \ cos ax，\ quad \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d}} \ cos ax = -一个\ SIN斧头，$

在哪里 $一种$是一个任意常数。

由于无限的整合是反衍生，我们可以这么说

$\ int \ cos ax \，\ mathrm {d} x = \ frac1a \ sin ax + c，\ quad \ int \ sin ax \，\ mathrm {d} x = - \ frac1a \ cos ax + c，$

在哪里 $一种$是任意常数和 $C$是集成的常数。

我们也有那个

$\开始{对齐}\压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \ tan ax & = \交会^ 2 ax \ \ \压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \床ax & = - \ csc ^ 2 ax \ \ \压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \秒ax & = \秒ax \ tan ax \ \ \压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \ csc ax & = - \ csc ax \床ax,结束\{对齐}$

在哪里 $一种$是一个任意常数。

在这种情况下，反衍生物仍然是无限的一体化，我们可以这么说

$\ begin {对齐} \ int \ sec ^ 2 ax \，\ mathrm {d} x＆= \ frac1a \ tan ax + c \\ \ int \ csc ^ 2 ax \，\ mathrm {d} x＆= - \FR.一种C1一种\cot ax + C\\ \int \sec ax \tan ax \, \mathrm{d}x &= \frac1a \sec ax + C\\ \int \csc ax \cot ax \, \mathrm{d}x &= - \frac1a \csc ax + C, \end{aligned}$

在哪里 $一种$是任意常数和 $C$是集成的常数。

下一组无限变量是三角识别的结果 $你$替换:

$\开始{对齐}\ int \ tan ax \ \ mathrm {d} x & = \ frac1a \ ln | \交会ax | + C \ \ \ int \床ax \ \ mathrm {d} x & = \ frac1a \ ln | \罪ax | + C \ \ \ int \ sec ax \ \ mathrm {d} x & = \ frac1a \ ln | \交会ax + \ tan ax | + C \ \ \ int \ csc ax \ \ mathrm {d} x & = \ frac1a \ ln | \ csc ax - \床ax | + C \{对齐}结束$

在哪里 $一种$是任意常数和 $C$是集成的常数。

现在，我们来研究三角积分的典型例子。

情况1：假设我们的集成是表单

$\ begin {array} {c}＆\ int \ cos mx \ cos nx \，dx＆\ text {或}＆\ int \ sin mx \ sin nx \，dx＆\ text {或}＆\ int \ sin mx\ cos nx \，dx。\结束{array}$

在这些情况下，我们可以使用三角函数来总和身份：

$\ cos a \ cos b = \ frac {1} {2} \ big [\ cos（a-b）+ \ cos（a + b）\ big]，$同样为另外两个。

找到积分

$\ int \ sin 3x \ cos 2x \，dx。$

---

自 $\ sin 3x \ cos 2x = \ frac12 \ big [\ sin（3x + 2x）+ \ sin（3x-2x）\ big] = \ frac12 \ left（\ sin 5x + sin x \右），$给出的表达式是

$\begin{begin} \int\sin 3x \cos 2x \，dx &= frac12\left(\int\sin 5x \，dx + \int\sin x \，dx \right)\\ &=- frac12\left(\ frax {\cos 5x}5 + \cos x \right) + c \ _\square \end{aligned}$

案例2:假设我们的集成是表单

$罪\ int \ ^ m (x) \因为^ n (x) dx,$在哪里 $m$和 $N$属于整数。

在这种情况下，我们可以用 $你$替换:

• 如果 $m$是奇怪的，放了 $\ cos（x）= t$并继续。
• 如果 $N$是奇怪的，放了 $\ sin（x）= t$并继续。
• 如果两者 $m$和 $N$是奇怪的，放 $\ sin（x）= t \ text {if} m \ geq n$和 $\ cos（x）= t$除此以外。
• 如果两者 $m$和 $N$甚至，使用减少功率的公式： $\ sin ^ 2（x）= \ frac {1} {2} \ big（1- \ cos（2x）\ big）\ \ text {and} \ cos ^ 2（x）= \ frac {1} {2} \ big（1+ \ cos（2x）\ big）。$
• 如果 $M + N.$是负整数吗 $\ tan（x）= t$并继续。

找到积分

$\ int \ sin ^ 2（x）\ cos ^ 3（x）\，dx。$

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我们有

$\ begin {对齐} \ int \ sin ^ 2（x）\ cos ^ 3（x）\，dx＆= \ int \ sin ^ 2（x）\ cos ^ 2（x）\ cos（x）\，dx\\＆= \ \ int \ sin ^ 2（x）\ big（1- \ sin ^ 2（x）\ big）\ cos（x）\，dx。\结束{对齐}$

替换 $\ sin（x）= t$和 $\ cos (x) dx = dt,$以上等于

$\ begin {对齐} \ int t ^ 2 \ big（1-t ^ 2 \ big）\，dt＆= \ int t ^ 2 dt - \ int t ^ 4 dt \\＆= \ frac {t ^ 3}{3} - \ frac {t ^ 5} {5} + c \\＆= \ frac {\ sin ^ 3（x）} {3} - \ frac {\ sin ^ 5（x）} {5} +C，\结束{对齐}$

在哪里 $C$是集成的常数。 $_\正方形$

案例3:假设我们的集成是表单

$\ int \ dfrac {\ sin (x) + b \ cos (x) + c} {p \ sin (x) + q \ cos (x) + r} \, dx。$

在这种情况下，表达 $\文本{num} = \ alpha \ text {（deN）} + \ beta \ frac {d} {dx} \ text {（deN）} + \ gamma$然后像往常一样积分。

请注意，NUM表示整合和平的分子，并且DEN表示积分的分母。

找到积分

$3 \ \ int \压裂{sin (x) + 5 \ cos (x) + 3} {\ sin (x) + 2 \ cos (x) + 1} \, dx。$

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表达 $3 \ sin（x）+ 5 \ cos（x）+ 3 = \ alpha \ big（\ sin（x）+ 2 \ cos（x）+ 1 \ big）+ \ beta \ big（\ cos（x） -2 \ sin（x）\ big）+ \ gamma。$然后比较 $\ sin (x), cos (x)$给

$\ alpha - 2 \ beta = 3，\ quad 2 \ alpha + \ beta = 5，\ quad \ alpha + \ gamma = 3。$

所以， $\alpha = {13}5， \beta = -\frac15， \gamma = \frac25，$这给了

$\ begin {对齐} \ int \ int \ frac {3 \ sin（x）+ 5 \ cos（x）+ 3} {\ sin（x）+ 2 \ cos（x）+ 1} \，dx＆= \ alpha \int dx + \ beta \ int \ frac {\ cos（x） - 2 \ sin（x）} {\ sin（x）+ 2 \ cos（x）+ 1} \，dx + \ int \ frac {\ gamma} {\ sin（x）+ 2 \ cos（x）+ 1} \，dx \\＆= \ alpha \ int dx + \ beta \ int \ frac {\ big（\ sin（x）+ 2 \ cos（x）+ 1 \ big）'} {\ sin（x）+ 2 \ cos（x）+ 1} \，dx + \ gamma \ int \ frac {1} {\ sin（x）+ 2 \ cos（x）+ 1} \，dx \\＆= \ frac {13x} {5} - \ frac15 \ ln \ big | \ sin（x）+2 \ cos（x）+1 \ big |+ \ frac15 \ bigg（\ ln \ left（\ sin \ frac x2 + \ cos \ frac x2 \右） - 3 \ ln \ left（3 \ cos \ frac x2 - \ sin \ frac x2 \右）\ bigg）+ C，\结束{对齐}$

最后的积分是由下面提到的情形6完成的。 $_\正方形$

案例4：假设我们的集成是表单

$\ int \ frac {a \ tan（x）+ b} {p \ tan（x）+ q} \，dx。$

在这种情况下，将集成变为表单

$\ int \ dfrac {a \ sin（x）+ b \ cos（x）} {p \ sin（x）+ q \ cos（x）} \，dx$

并按照案例3进行。

找到积分

$\ int \ frac {\ tan（x）+ 2} {5 \ tan（x）-3} \，dx。$

案例5：假设我们的集成是表单

${a\sin(x) \pm b\cos(x)}\， dx。$

在这种情况下，使用 $= r \ cosα(\)$和 $b = r \ sin（\ alpha）$把整合放在表单中

$\ frac {1} {r} \ int \ frac {dx} {\ sin（x \ pm \ alpha）}$

并将其整合使用公式 $\ displaystyle \ int \ csc（x）\，dx$。

找到积分

$\ int \ frac {1} {2 \ sin（x） - 5 \ cos（x）} \，dx。$

例6:：假设我们的集成是表单

$\ int \压裂{dx} {\ sin (x) + b \ cos (x) + c}。$

在这种情况下，将整数转换为表单

$\int \frac{\sec^2\left(\frac x2\right)}{2a\tan\left(\frac x2\right) + (c-b)\tan^2\left(\frac x2\right) +(c+b)}\, dx$

然后把 $谭\ \离开(\压裂x2 \右)= t$并继续。

找到积分

$\ int \ frac {dx} {\ sin（x）+2 \ cos（x）+1}。$

例7:一般来说，如果积分是这样的形式

$\ int r（\ sin x，\ cos x）\，dx，$

在哪里 $R.$是一个合理的功能，那么通用的替代就是放置 $谭\ \离开(\压裂x2 \右)= t$。

现在，出现了三种特殊情况：

• 如果 $r \ big（ - \ sin（x），\ cos（x）\ big）= -r \ big（\ sin（x），\ cos（x）\ big），$然后放了 $\ cos（x）= t$并继续。
• 如果 $r \ big（\ sin（x）， - \ cos（x）\ big）= -r \ big（\ sin（x），\ cos（x）\ big），$然后放了 $\ sin (x) = t$并继续。
• 如果 $r \ big（ - \ sin（x）， - \ cos（x）\ big）= -r \ big（\ sin（x），\ cos（x）\ big），$然后放了 $\ tan（x）= t$并继续。

例8:如果积分是这种形式

$下午\ int \压裂{\ \下午sin (x) \ \ cos (x)} {f \大(\罪(2 x) \大)}\,dx,$

然后替换 $\ displaystyle \ int \ big（\ pm \ sin（x）\ pm \ cos（x）\ big）= t$并继续。

找到积分

$\ int \ frac {\ cos（x） - \ sin（x）} {1 + \ sin（2x）} \，dx。$