皮托管定理
在几何,皮托管定理描述a的相对两边之间的关系切向四边形.这个定理是由这样一个事实得出的:从圆外一点到圆的两条切线的长度相等。有四对相等的切线段,对边和都可以分解为这四对切线段的和。反过来也是正确的:一个圆可以内切到每一个凸四边形中,在凸四边形中,对边的长度和等于相同的值。
它是以法国工程师亨利·皮托的名字命名的,他在1725年证明了这一点。
声明
在切向四边形(可内接圆的四边形)中,其对边长度和相等。
让 是一个切四边形。皮托定理告诉我们 .
的匡威这也是正确的,但需要更多的工作。直到1846年,在皮托发表他的证明100多年后,雅克布·施泰纳才证明了这一点!
证明
皮托定理是一个众所周知的事实的直接结果,即从圆外一点到圆的两条切线的长度相等。
我们来证明一下。
我们要证明的是 .
注意两个三角形 和 是直角的.
我们也有 (因为它们是圆的半径)。
这是双方共同的一面吗 和 .
这意味着这些三角形是全等的
皮托定理应该是显而易见的。下面的图片很好地总结了这一点。
相反的证据
我们想在凸四边形中证明它 ,如果 ,我们就可以画出一个与所有圆相切的半圆 两侧。
注意,我们总是可以画一个与 , 和 .圆的圆心是角的平分线 和 相交。这个点总是存在的,这个圆也是。
我们要做的就是证明这个圆与 也
我们要做a反证法.
假设圆不与…相切 .现在画一个与圆相切的切线 ,让 是它的交点 .
这是一张图 在于……的内部 .
因为这个圆是在四边形中内切的 ,根据皮托定理 .还记得我们 或 .但这意味着 这是不可能的,因为 是简并的。
所以我们之前的假设是错误的这个圆与所有的圆都相切 双方的 .
即使 不是在里面吗 .
额外的问题
- 圆 位于四边形之外 .如果 延伸的是切线 显示, .
- 证明上述问题的反面。
- 表明,如果
,然后是圆周
和
切向。
事实上,所有的四个圆周 在交点处是并行的吗 和 .