平价- - -中间

我们继续探索这个想法奇偶校验以及它的许多应用。除了简单地确定一个数字是奇数还是偶数之外，奇偶校验还可以用作计数参数。

相反的角从一个 $20 \ * 20$棋盘。结果的形状能被199个大小的矩形覆盖吗 $2 \ * 1$？每个矩形的位置必须覆盖两个相邻的正方形。

---

解决方案:我们可以把棋盘上的方格涂成黑白相间的图案。每一种颜色都有200个正方形。相反的两个角将有相同的颜色，所以当它们被移除时，一种颜色的正方形将剩下198个，另一种颜色的正方形将剩下200个。每个矩形只覆盖一个黑方和一个白方，所以199个矩形不能覆盖200个相同颜色的正方形。

在一个 $8 \乘以8$表中，有一半的条目是 $1$剩下的项是 $－1$．允许任意数量的行和列相乘 $－1$．有可能得到63个元素吗 $1$另一项 $－1$通过这一过程?

---

解决方案:考虑一下当我们将一行乘以 $－1$．假设 $k$这一行的条目是 $1$和其他 $公布$条目是 $－1$．在我们完成乘法运算之后， $公布$所有的条目将是 $1$和 $k$所有的条目将是 $－1$．这代表了 $(8-k) -k = 8-2k$到条目的总数 $1$．自 $8 - 2 k$总是偶数 $k$是整数，项数是多少 $1$将始终具有相同的同等地位。由于奇偶性从一开始就是偶数，所以经过一系列的乘法运算，它永远不会变成奇数。因此，不可能通过这个过程使63个元素为1。

骑士在棋盘上的一步棋包括骑士在一个方向走两个方格，在一个垂直方向走一个方格。如果一个骑士在一个 $5 \ * 5$在棋盘上，它不能在返回起点之前精确地访问每一个方格。

---

解决方案:我们用反证法给出一个证明。同样，我们可以在交替的模式中给棋盘上的正方形涂上黑色和白色。在不失一般性的情况下，角落的方块都是黑色的。我们可以数一数，有13个黑色方块和12个白色方块。

假设骑士存在这样的循环。注意，骑士的动作的方块顺序必须变换颜色，例如， $B-W-B-W-B-W - \ cdots$．这意味着黑白方块的数量必须相等，因为骑士回到了开始的方块。这就产生了矛盾。

表明, $\ sqrt {2}$这样的假设是非理性的吗 $大概{2}= \ \压裂{一}{b}$并达到一个包含宇称的矛盾。

---

解决方案:我们用反证法给出一个证明。假设 $\ sqrt {2}$是理性的。然后 $\sqrt{2} = frac {a}{b}$,在那里 $一个$和 $b$是素数正整数。解出分母，然后平方，得到 $2b ^2 = a^2$．因为LHS是均匀的，所以RHS也是 $一个$是偶数。让 $A = 2a_1$．然后,我们得到

$2b^2 = (2a_1)^2 \ right tarrow 2b^2 = 4a_1 ^2 \ right tarrow b^2 = 2a_1 ^2$

既然RHS是偶数，那么LHS也是 $b$是偶数。因此, $一个$和 $b$都是偶数，与它们是互质数的假设相矛盾。