参数的导数

对于用它表示的方程参数形式，一阶导数是

$\压裂{dy} {dx} = \压裂{\水平间距{2毫米}\压裂{dy} {dt} \水平间距{2毫米}}{\压裂{dx} {dt}}$

的 $x$和 $y$时间导数振荡，而函数本身的导数(斜率)也振荡。^［1］

二阶导数是

$\压裂{d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \压裂{\压裂{dx} {dt} \压裂{d ^ 2 y} {dt ^ 2} - \压裂{dy} {dt} \压裂{d x ^ 2} {dt ^ 2}}{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 3},$

在哪里 $x$和 $y$点的坐标用方程和来描述吗 $t$是参数．

用蛮力法求一阶导数 $左(\ \压裂{dy} {dx} \右)$就是消除参数，但这使得涉及参数的问题更加复杂。更优雅地说，考虑的是 $y$关于 $师:$

$\压裂{dy} {dt}。$

由链式法则，

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}。$

右边的第一项是参数函数的一阶导数．为了分离它，两边除以 $\压裂{dx} {dt}。$

$\压裂{dy} {dx} = \压裂{\水平间距{2毫米}\压裂{dy} {dt} \水平间距{1.5毫米}}{\压裂{dx} {dt}}$

在实际中，求导的参数函数 $x$和 $y$独立地把它们插入上面的关系中。

如果 $x = 2 e ^ {- t}$和 $Y = 0 e^t，$是什么 $\压裂{dy} {dx}$当 $x = 1 ?$

---

首先，求的导数 $x$和 $y$而言, $师:$

$\压裂{dx} {dt} = 2 e ^ {- t}, \四\压裂{dy} {dt} = \ frac12 e ^ t。$

写下来 $\压裂{dy} {dx}:$

$\压裂{dy} {dx} = \压裂{\水平间距{2毫米}\压裂{dy} {dt} \水平间距{1毫米}}{\压裂{dx} {dt}} = \压裂{\ frac12 e ^ t} {2 e ^ {- t}} = - \ frac14 e ^ {2 t}。$

自 $x = 2 e ^ {- t},$当 $x = 1$

$T = - ln \frac{x}{2} = - ln \ fra12。$

因此,

$\压裂{dy} {dx} = - \ frac14 e ^ {2 t} = - \ frac14 e ^ {2 \ ln \ frac12} = - \ frac14 e ^ {\ ln \大(\ frac12 \大)^ {2}}= - \ frac14 e ^ {\ ln 4} = - \ frac14(4) = 1。\ _ \广场$

二阶导数是，根据定义，

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \frac{dy}{dx}。$

由链式法则， $d \压裂{}{dx} = \压裂{d} {dt} \压裂{1}{\水平间距{1毫米}\压裂{dx} {dt} \水平间距{1毫米}}= \压裂{d} {dt} \压裂{dt} {dx},$所以

$\压裂{d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \压裂{d} {dt} \压裂{dy} {dx} \压裂{dt} {dx}。$

从上面, $\压裂{dy} {dx} = \压裂{\水平间距{1毫米}\压裂{dy} {dt} \水平间距{1毫米}}{\压裂{dx} {dt}},$所以

$\压裂{d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \压裂{d} {dt} \压裂{\水平间距{1毫米}\压裂{dy} {dt} \水平间距{1毫米}}{\压裂{dx} {dt}} \压裂{dt} {dx}。$

最后,评估 $d \压裂{}{dt}$在右边用除法法则：

$\压裂{d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \压裂{\压裂{dx} {dt} \压裂{d ^ 2 y} {dt ^ 2} - \压裂{dy} {dt} \压裂{d x ^ 2} {dt ^ 2}}{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2}\压裂{dt} {dx} = \压裂{\压裂{dx} {dt} \压裂{d ^ 2 y} {dt ^ 2} - \压裂{dy} {dt} \压裂{d x ^ 2} {dt ^ 2}}{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 \压裂{dx} {dt}} = \压裂{\压裂{dx} {dt} \压裂{d ^ 2 y} {dt ^ 2} -\压裂{dy} {dt} \压裂{d x ^ 2} {dt ^ 2}}{\离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 3}。$

这个等式如果用写法就不那么令人头疼了牛顿的点符号, ${你}\点$表示的一阶导数 $u$关于 $t$和 $\ ddot{你}$的二阶导数 $u$关于 $t$．

$\压裂{d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \压裂{\点{x} \ ddot {y} - {y} \ \点ddot {x}}{\点{x} ^ 3}$

如果 $x = 4 t ^ 2$和 $y = 3 t ^ 5$它的二阶导数是什么 $y$而言, $x ?$

---

首先，求所需的一阶和二阶导数:

$\点{x} = 8 t \四\ ddot {x} = 8 \四\点{y} = 15 t ^ 4, \四\ ddot {y} = 60 t ^ 3。$

接下来，求二阶导数:

$\压裂{d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \压裂{\点{x} \ ddot {y} - {y} \ \点ddot {x}}{\点{x} ^ 3} = \压裂{(8 t) (60 t ^ 3) - (15 t ^ 4) (8)} {t(8) ^ 3} = \压裂{360 t ^ 4} {512 t ^ 3} = \压裂{45}{64}t。\ _ \广场$

切线方程表示在切点处形成直角的直线。直线的公式在代数部分描述为“点斜公式”:

$y-y_1 = m (x-x_1)。$

在参数方程中，求正切也需要同样的方法，但要用到微积分:

$y-y = frac{dy}{dx} (x-x_1)。$

直线的切线总是被定义为直线的导数。因此，对于斜率，我们使用 $\压裂{dy} {dx}。$

1. Helsing, v。动画的圆渐开线．2016年5月18日，从https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animated_involute_of_circle.gif