环面的表面积和体积很容易用帕普斯定理来计算。环面是半径为一的圆
r<R,集中在
(R,0)然后绕着
y设在。圆的表面和被圆包围的区域的质心都是圆的圆心。它传播的距离是
2πR当它旋转时,表面积是
2πR乘以弧长
2πr圆的体积是
2πR乘以面积
πr2圆的。也就是说,
环面表面积环面体积=4π2Rr=2π2Rr2.
旋转一个有长度的直角三角形
r和
h绕腿的长度
h产生一个锥体。圆锥体的表面(不包括圆底)是通过绕腿旋转斜边得到的。斜边的质心就是圆锥体的中点,它位于圆锥体的半边,它会移动一段距离
22πr当它旋转时。所以表面积是
πrr2+h2
通过Pappus定理。
三角形的质心是三个顶点的质心(参见三角形的重心Wiki),它位于距离
3.r从旋转轴出发
(和
3.h在基地之上
).所以体积是
2π(3.r)乘以三角形的面积,也就是
2rh.产品是
3.1πr2h,我们熟悉的圆锥体积公式。
球体的体积和表面积可以用Pappus定理计算,但是计算涉及到非平凡积分;在这种情况下,Pappus定理并没有提供“捷径”。
让
C成为曲线
y=r2−x2
.半径球
r是通过旋转得到的
C在
x设在。弧长
l的
C只是
πr因为它是半圆。
的质心
C是在。
y-轴对称。它的
y-坐标由公式给出
y=l1∫−rry1+(dxdy)2
dx.
这里的理由是,质心是一个质心和一小段弧在一小段长度上的质量
dx在
x-轴与弧长成正比,即
1+(dxdy)2
dx.(见弧长Wiki上有详细的解释。)质心的位置是
πr1∫−rrr2−x2
1+r2−x2x2
dxt=πr1∫−rrr2−x2
r2−x2r2
dx=πr1∫−rrrdx=πr2r2=π2r.
所以表面积是
2π倍
y-质心的坐标,乘以弧长,就是
2π(π2r)(πr)=4πr2.
的
y圆盘质心的坐标是的(二重)积分
y除以区域的面积:
21πr21∬Rydydx=πr22∫−rr2y2∣∣∣∣0r2−x2
dx=πr21∫−rr(r2−x2)dx=πr21(r2x−3.x3.)∣∣∣∣−rr=3.π4r.
所以体积是
2π倍
y-质心的坐标,乘以面积,就是
2π(3.π4r)2πr2=3.4πr3.,
像预期的那样。