默比乌斯带

Möbius strip，也叫The扭曲的汽缸，是一个没有边界的单方面的表面。它看起来像一个无限循环。就像一个正常的循环，蚂蚁沿着它爬行永远不会到达终点，但在一个正常的循环中，蚂蚁只能沿着顶部或底部爬行。

Möbius的连载漫画就有只有一方，所以一只蚂蚁在上面爬行，就会绕着两个底和前在一个单一的伸展。一个Möbius的纸条可以这样制作:拿一张纸，把它扭曲一半，然后把两端连接在一起。

Möbius可以是任何大小和形状的条，其中一些在欧几里得空间中很容易看到，而另一些则不容易看到。Möbius条的拓扑结构使其成为罕见的无限欧几里得表示法，数学家们对此进行了扩展，并将其推广为克莱因瓶．

以下是制作Möbius条纹的方法:

1. 剪出一条长长的纸条。长条应该是几厘米宽，长度 $l$应该比宽度长得多吗 $w$．
2. 把两端连在一起做成一个简单的圆圈。
3. 在将两端连接在一起之前，在长条的一边添加一个半扭转(如右图所示)。

享受你的Möbius连载吧!

Möbius是一面的，可以通过在Möbius的中心向下画一条线来证明。当你的手指沿着这条线移动时，不要从表面抬起你的手指 $l$在纸的另一边，从开始的位置。继续沿着中心线，移动一段距离后，手指会回到起始位置 $2 l$．根据这个性质，对于Möbius条上的任意两点，都可以在这两点之间画一条路径，而不用把铅笔从纸上拿起来，也不用越过边。

Möbius条也只有一个边界，可以用手指沿着Möbius条的边缘来演示。就像中心线一样，当你的手指沿着边界线移动时，你的手指就会沿着边界线移动 $l$，它将在Möbius条的边界边缘上，与起点正对，继续沿着边界边缘移动，你的手指将在移动了一段总距离后回到起始位置 $2 l$．Möbius带具有欧拉特性 $\ x = 0$

考虑一个圆柱形外壳，它是一个锡罐的形状，顶部和底部都被去掉了。这个对象是通过取一个矩形并识别两个具有相同方向的边来获得的。

现在，如果我们翻转上图中箭头的一个方向会发生什么?有向边界的最终识别给出了Möbius条。

想想这些边是如何在二维欧几里得空间中粘合的。事实证明，在二维空间中不可能在没有自交的情况下粘合这些边。然而，通过允许另一个维度，我们可以允许“扭曲”存在于第三维度中，如上所示，一个Möbius条在三维欧几里得空间中是非自相交的。圆柱体和Möbius条是2-manifolds有边界的拓扑对象，使得每个点的邻域在局部上看起来像欧几里得空间，即一个平面。

继续这个思路，如果我们把矩形里的四条边都相等会发生什么?请注意，与圆柱壳和Möbius带一样，我们有两种选择的方向的边，要么在相同的方向，要么在不同的方向。

Möbius连载漫画在数学、艺术、魔术、文学等领域发挥了重要作用。埃舍尔的作品《Möbius strip I》、《Möbius strip II(红蚂蚁)》等都是连载漫画。

来个精心制作的Möbius脱衣舞笑话怎么样?

问:“为什么鸡要穿过Möbius条纹?”

答:“到同一边去!”

当一个Möbius带从中线上切下来时会发生什么?

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你应该先自己试试这个实验!

结果得到的不是两条带子，而是一条带一个完全扭转的带子 $(360 ^ \保监会)。$ $_ \广场$

• 通过考虑Möbius带的有向边识别图，你能看出为什么会出现这种情况吗?

现在，如果你在结果图上画一条中心线会发生什么?试着从中线再剪一次，看看你会得到什么。

• 你能解释一下这个结果吗?

现在，不是在Möbius的中间画一条线，而是画一条有距离的线 $w \压裂{1}{3}$从边缘。当一条Möbius横线被切断时会发生什么?和上面的例子一样吗?

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你应该先自己试试这个实验!

结果是两条:

• 一条Möbius的宽度 $w \压裂{1}{3}$和长度 $l$和
• 一条更长的宽度 $w \压裂{1}{3}$和长度 $2 l$用一个完整的 $(360 ^ \保监会)$转折。

这与第一个示例不同，因为Möbius条中间的切割返回到长度之后的起始点 $l$的地带。然而，从三分之一的路从边缘切，返回起点发生在总距离 $2 l$． $_ \广场$

你能操作这些互锁的环(不产生任何尖锐的折痕)相互堆叠，形成3个Möbius条的堆叠吗?(这在马丁·加德纳的书中有展示数学魔术表演．）

拿一张纸，做一个 $k$一半的曲折 $180 ^ \保监会$在确定边缘之前 $（$在哪里 $k = 1$半扭转给出Möbius条 $)．$结果图包含多少边界和多少边?

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你应该先自己试试这个实验!

如果 $k$是偶数，则结果有两个边界和两条边。一个特例是 $k = 0$，给出了圆柱形壳体，如图所示的边识别图。为 $k$即使，如果沿中心线切割，它也会分成两个圆环，每个圆环将包含 $k$扭曲的一半。

如果 $k$是奇数时，结果有一个边界和一条边。如果沿着中心线切割，结果是一个带 $2 k$扭曲的一半。 $_ \广场$