数学的投票gydF4y2Ba
从数学的角度来看,投票是将个人的偏好集合起来,试图描述整个群体的偏好的过程。这可以是对一个最佳选择进行投票——比如你和你的朋友想去哪家餐厅——或者决定谁应该被允许进入一小群决策者——比如决定在大学的决策委员会中应该给学生、教师和管理人员多少个席位。gydF4y2Ba
将个人的偏好以最公平地代表群体的欲望的方式汇总起来,要将其形式化是极其困难的。的一些令人惊讶的结果gydF4y2Ba社会选择理论gydF4y2Ba被称为“不可能定理”的理论表明,我们对“公平”的概念往往是不相容的。一个方面的公平可能会妨碍另一个方面的公平。投票制度是否公平还取决于投票的方式:例如,人们可以只描述他们的首选,对所有的选择进行排序,或者给每个可能的选择打分。gydF4y2Ba
许多投票系统并不是特别强大,因为当少数选民改变偏好时,它们可能会以不明显的方式受到总体偏好变化的影响。下面,我们将讨论一个出乎意料的强大投票方法和投票理论数学中的几个相关悖论。gydF4y2Ba
内容gydF4y2Ba
孔多塞悖论gydF4y2Ba
的gydF4y2Ba孔多塞的方法gydF4y2Ba是一种从个人偏好中确定总体偏好的稳健方法,它的工作原理是在两个选择之间进行所有可能的比较,找出胜利者,然后将成对的结果链接在一起,形成总体排序。gydF4y2Ba
具体来说,要有一批选民gydF4y2Ba 还有一组选项gydF4y2Ba 投票表决。每个选民gydF4y2Ba 定义它们在集合上的个人偏好排序gydF4y2Ba .这意味着对于任何gydF4y2Ba ,要么gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba .例如,如果Alice要在商店买苹果、香蕉或哈密瓜之间进行投票,她喜欢哈密瓜而不喜欢香蕉,喜欢香蕉而不喜欢苹果,她会用“哈密瓜”来表示这些事实gydF4y2Ba 香蕉和香蕉gydF4y2Ba 苹果。”此外,这种秩序必须服从gydF4y2Ba传递gydF4y2Ba规则。如果gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba ,那么它一定是真的gydF4y2Ba .在前面的例子中,Alice的偏好意味着她也必须有“哈密瓜”的偏好gydF4y2Ba 苹果。”gydF4y2Ba
一旦每个投票人指定了他们的偏好,每一对选项gydF4y2Ba 进行比较,计算每个选民选择其中一个而不选择另一个的次数。如果有5个选民gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba 有3个选民更喜欢gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba ,则该对的总偏好为gydF4y2Ba .通过进行这些单独的比较,并使用传递规则计算出其余的隐含偏好,可以找到总体偏好。gydF4y2Ba
爱丽丝、鲍勃和卡罗尔正在投票给披萨配什么配料。他们的钱只够买一种配料,而且披萨店的供应不足,所以他们只能在凤尾鱼、西兰花和额外的奶酪之间做出选择。他们投票后发现自己的喜好如下:gydF4y2Ba
- 艾丽斯:西兰花gydF4y2Ba 奶酪gydF4y2Ba 凤尾鱼gydF4y2Ba
- 鲍勃:西兰花gydF4y2Ba 凤尾鱼gydF4y2Ba 奶酪gydF4y2Ba
- 卡罗:凤尾鱼gydF4y2Ba 奶酪gydF4y2Ba 花椰菜。gydF4y2Ba
对每个选项进行两两比较,得出gydF4y2Ba
- 西兰花gydF4y2Ba 凤尾鱼(2比1)gydF4y2Ba
- 凤尾鱼gydF4y2Ba 奶酪(2比1)gydF4y2Ba
- 西兰花gydF4y2Ba 奶酪(2比1)。gydF4y2Ba
使用传递规则,完整的顺序是gydF4y2Ba
- 西兰花gydF4y2Ba 凤尾鱼gydF4y2Ba 奶酪。gydF4y2Ba
在这个例子中,对总体偏好使用传递规则似乎是合理的,因为每个个体偏好都假设是传递的。然而,事实并非如此。gydF4y2Ba
第二天,爱丽丝、鲍勃和卡罗尔遇到了同样的难题,但他们的偏好发生了变化。他们重新投票,然后发现gydF4y2Ba
- 艾丽斯:凤尾鱼gydF4y2Ba 西兰花gydF4y2Ba 奶酪gydF4y2Ba
- 鲍勃:西兰花gydF4y2Ba 奶酪gydF4y2Ba 凤尾鱼gydF4y2Ba
- 卡罗:奶酪gydF4y2Ba 凤尾鱼gydF4y2Ba 花椰菜。gydF4y2Ba
对每个选项进行两两比较,得出gydF4y2Ba
- 凤尾鱼gydF4y2Ba 西兰花(2比1)gydF4y2Ba
- 西兰花gydF4y2Ba 奶酪(2比1)gydF4y2Ba
- 奶酪gydF4y2Ba 凤尾鱼(2比1)。gydF4y2Ba
这组顺序是循环的。尝试使用传递属性会导致说,两个凤尾鱼都比奶酪好,奶酪比凤尾鱼好,这意味着奶酪和凤尾鱼必须是相同的(任何厨师都会嘲笑的断言)。传递的个人首选项可以导致循环聚合首选项的事实被称为gydF4y2Ba孔多塞悖论gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
阿罗的不可能定理gydF4y2Ba
投票制度有以下三个可取的特点:gydF4y2Ba
- 一致gydF4y2Ba如果每个人都喜欢gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 应该赢。gydF4y2Ba
- 没有独裁者gydF4y2Ba不应该有一个人的个人喜好总是决定谁赢。gydF4y2Ba
- 无关替代品的独立性(IIA)gydF4y2Ba:增加额外的选项不应改变现有的关系。也就是说,如果gydF4y2Ba ,添加选项gydF4y2Ba 不应该让gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
无关备选方案的独立性是一个重要的标准,因为在理想情况下,投票系统不会受到影响gydF4y2Ba战略投gydF4y2Ba在该系统中,选民将以不透露他们真实偏好的方式对选项进行排序,以试图确保他们的首选当选。gydF4y2Ba
阿罗的不可能定理gydF4y2Ba
在任何排名投票系统中,都不可能同时满足上述三个特征(一致性,无独裁者,IIA)。gydF4y2Ba
选民和三个选择gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba .在右边的图表中,它表明,在不相关的选项的一致和独立的情况下,选民中一定有一个独裁者[3]。gydF4y2Ba
考虑投票给gydF4y2Ba如果每个人都投票gydF4y2Ba 作为最坏的选择,经全体一致同意,gydF4y2Ba 是最坏的选择。这是配置文件gydF4y2Ba 在图中。同样,如果每个人都思考gydF4y2Ba 那么,这是最好的选择吗gydF4y2Ba 是综合的最佳选择。这是配置文件gydF4y2Ba .之间的gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 是配置文件gydF4y2Ba 第一个gydF4y2Ba 人投票gydF4y2Ba 是最好的,gydF4y2Ba 人投票gydF4y2Ba 是最糟糕的。在其中一个值处,总排名必须切换到gydF4y2Ba 是集合最好的。设这个开关值为gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba关键的选民gydF4y2Ba为gydF4y2Ba .如果gydF4y2Ba 排名gydF4y2Ba 首先,然后gydF4y2Ba 赢了,如果gydF4y2Ba 排名gydF4y2Ba 最后,然后gydF4y2Ba 不赢。gydF4y2Ba
其余的证据表明,如果一致和独立的无关的选择成立,那么选民gydF4y2Ba 总是决定着投票的结果。也就是说,选民gydF4y2Ba 是一个独裁者。gydF4y2Ba
首先,考虑一下这种情况gydF4y2Ba 排名gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba 其他所有选民都有一些武断的排名。现在,对于gydF4y2Ba 、移动gydF4y2Ba 他们的第一喜好和gydF4y2Ba 他们的第二个。通过IIA,这不能改变的总排名gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba .同样,对于选民来说gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba 、移动gydF4y2Ba 为了他们的第一选择,为了选民gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba 、移动gydF4y2Ba 到他们的最低偏好。同样,通过IIA,这不能改变排名gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
现在所有的选民gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba 更喜欢gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba 和所有的选民gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba 更喜欢gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba .根据定义gydF4y2Ba ,这意味着总优先级必须是gydF4y2Ba .同样,所有选民gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba 更喜欢gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba 和所有的选民gydF4y2Ba 通过gydF4y2Ba 更喜欢gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba .根据定义gydF4y2Ba ,这意味着总优先级必须是gydF4y2Ba .通过传递性,整体偏好必须是gydF4y2Ba .因此,gydF4y2Ba 是一个独裁者。gydF4y2Ba
阿罗定理似乎给公平投票制度钉上了一颗钉子,但它只适用于偏好必须简单排序而不是评分的系统。例如,如果选民能够说他们更喜欢gydF4y2Ba 超过10倍gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 超过1.1倍gydF4y2Ba ,那么这些结果就不一定成立。gydF4y2Ba
分配的矛盾gydF4y2Ba
尽管阿罗定理说明了对一组特定候选人的偏好的不可能结果,但分配悖论在将一些离散的席位公平地划分给不同的群体时给出了类似的声明。gydF4y2Ba
代议制民主gydF4y2Ba是一种政府形式,在这种政府中,不是每个人都对每个问题投票(直接民主),而是由个人选出少数代表为他们的利益投票。的gydF4y2Ba分配的矛盾gydF4y2Ba是一个不可能定理,用于选择分配给每一组的代表席位的数目。在实行政党名单比例代表制的国家,这些团体就是政党。每个政党获得的席位数量是投票给该政党的人数的函数。在美国,这些团体是州。他们在众议院获得的席位数量是该州人口的一个函数。居住在一个州就是对该州席位的“投票”(从某种意义上说,与候选人填补该州席位的实际投票是分开的)。gydF4y2Ba
理想情况下,当做一个gydF4y2Ba公平的划分gydF4y2Ba在美国,分配给每个群体的席位数量将与选票数量(或州人口,在美国)成正比。例如,如果有10个席位,57%的人投票给团体gydF4y2Ba , 24%的人选择团体gydF4y2Ba , 19%的人选择团体gydF4y2Ba 在美国,他们将分别获得5.7、2.4和1.9个席位。然而,如果席位不能被分成部分(通常情况下),那么就需要一个决策过程来分配单个席位。一个理想的分配系统应该遵循以下三条规则:gydF4y2Ba
- 配额规则:每一组获得的席位数量与其选票比例相等,要么四舍五入,要么四舍五入。gydF4y2Ba 在这个例子中,座位是5到6gydF4y2Ba 2或3到gydF4y2Ba 1或2到gydF4y2Ba
- 如果席位总数增加,分配给任何群体的人数不会减少。gydF4y2Ba
- 如果集团gydF4y2Ba 得到比团体更多的选票gydF4y2Ba ,座位不会由gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
如果只有两个组,则可以通过按每组成员的人数直接成比例分配席位来满足所有这些标准。然而,如果有三个或更多的群体,分配悖论指出,不可能同时满足所有这些规则。gydF4y2Ba
的gydF4y2Ba阿拉巴马州的悖论gydF4y2Ba就是违反第二条规则的一个例子。1880年,美国众议院意识到,如果他们有299个席位,阿拉巴马州将分配8个,但如果他们有300个席位,阿拉巴马州将分配7个。gydF4y2Ba
美国参议院分配各州席位的制度如下:不论各州人口多少或各州总数多少,每个州都有两个席位。gydF4y2Ba
在分配悖论中描述的标准中,这个系统满足了哪一个?gydF4y2Ba
一个理想的分配系统应该遵循以下三条规则:gydF4y2Ba
- 配额规则:每一组获得的席位数量与其选票比例相等,要么四舍五入,要么四舍五入。gydF4y2Ba 在这个例子中,座位是5到6gydF4y2Ba , 2或3gydF4y2Ba ,和1或2gydF4y2Ba
- 如果席位总数增加,分配给任何群体的人数不会减少。gydF4y2Ba
- 如果集团gydF4y2Ba 得到比团体更多的选票gydF4y2Ba ,座位不会由gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
因子的方法gydF4y2Ba是一类服从标准2和3,但违反配额规则的分配规则。gydF4y2Ba
该方法从计算除数开始gydF4y2Ba 用总人口数除以席位数。gydF4y2Ba
然后配额gydF4y2Ba 对于每个州(或区,或任何正在使用的地方),计算方法是用总人口除以除数gydF4y2Ba .注意,在完美的情况下,配额将全部是整数,分配将完成;处理配额的小数部分是产生悖论的地方。gydF4y2Ba
有多种方法来处理每个分数部分gydF4y2Ba .一种方法(汉密尔顿的方法)是将所有的名额舍入,然后按照从最大到最小的顺序依次分配剩下的名额。gydF4y2Ba
另一种方法,被称为d'Hondt方法或Jefferson方法,是不断减少的值gydF4y2Ba 因此,当所有的配额四舍五入时,这些配额加起来就是正确的席位数量。gydF4y2Ba
美国众议院目前使用的方法被称为亨廷顿-希尔。每一个gydF4y2Ba 暂时向下舍入(调用此值gydF4y2Ba 然后将这个值与的几何平均值进行比较gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba :gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba 大于几何平均值gydF4y2Ba 围捕;否则则向下舍入。gydF4y2Ba
就像d'Hondt的方法一样,gydF4y2Ba 可能需要进行调整,以确保所有配额加在一起的座位数量正确。gydF4y2Ba
地区歧视gydF4y2Ba
就像国家被划分为州一样,州也被划分为区,每个区投票给特定的候选人。候选人是通过计算他们赢得的选区数量来当选的,假设赢得最多的选区就等于赢得了全部选票。然而,有可能一个候选人在大多数选区获胜,但仍然失去普选。gydF4y2Ba地区歧视gydF4y2Ba指故意重划选区界线,使某一候选人更有可能获胜的做法。gydF4y2Ba
在投票中也有gydF4y2Ba辛普森悖论gydF4y2Ba在统计学中,这就是说,尽管总体上是负相关的,但变量在子组中是有可能正相关的。gydF4y2Ba
更多的问题gydF4y2Ba
引用gydF4y2Ba
[1]图像检索于2016年3月1日从https://en.wikipedia.org/wiki/Electoral_College_(United_States)#/media/File:PopWinnerLosesElecVote.pnggydF4y2Ba
[2] By Nilesj自作,CC By - sa 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=27989711。gydF4y2Ba
[3]五胞胎,丹。第二讲:阿罗不可能定理,2014。检索于2016年3月7日从http://www.ssc.wisc.edu/~dquint/econ698/lecture%202.pdfgydF4y2Ba
[4]图像检索于2016年3月1日从https://en.wikipedia.org/wiki/United_States_congressional_apportionment#/media/File:2010_census_reapportionment.svggydF4y2Ba
[5]gydF4y2Ba分摊悖论gydF4y2Ba.检索自http://www.ctl.ua.edu/math103/apportionment/paradoxs.htm于2016年3月1日。gydF4y2Ba