替代限制

限制被定义为函数方法作为该函数内的变量越来越近的特定值。假设我们有一个描述为的限制 ${\ lim_ {x \ lightarrow a} f（x）}$。这表明了价值 $f（x）$什么时候 $X$是无限的 $一种，$但不完全等于 $一种$。这替代规则是一种通过简单地代替来发现限制的方法 $X$和 $一种$。这个规则的数学表现是

$\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow a} f（x）= f（a）}。$

让我们首先尝试一些例子。

找到价值 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow-1} ​​x ^ 2}$。

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这很简单。只需使用替换规则并插入 $x = -1$，我们有

$\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow-1} ​​x ^ 2} = \ left.x ^ 2 \ light | _ {x = -1} =（ - 1）^ 2 = 1。\ _ \ square$

但是，替代规则并不总是保持。为了使用替换规则，函数 $f（x）$必须满足以下条件：

$\文本{“函数} f（x）\ text {必须是连续的。”}$

这意味着图形 $f（x）$不会在其域名的任何地方分解。不连续函数的一个例子是 $f（x）= \ frac {1} {x}$。尝试绘制这个。你会注意到该图突破了 $x = 0.$，因此它是不连续的 $x = 0.$，因此查找时无法使用替换规则 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow0} \ frac {1} {x}}$。事实上，这个限制根本不存在，但我们稍后会讨论这一点。

找到价值 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow0} \ frac {x} {\ ltvert x \ rvert}}。$

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不连续

该图描绘了该功能的图表 $f（x）= \ frac {x} {\ ltvert x rvert}。$观察到图表是不连续的 $x = 0.$，这意味着我们无法应用替代规则以查找给定的限制。 $_\正方形$

因此，现在我们的讨论来到了一个简单而明确的结论：“如果函数是连续的，只是用它收敛的值替换变量！”

找 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow- \ infty} \ left（-x ^ 2 + 6x-5 \右）}。$

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重写表达式，我们有

$\ begin {对齐} \ lim_ {x \ lightarrow- \ idty} \ left（-x ^ 2 + 6x-5 \右）＆= \ lim_ {x \ lightarrow- \ idty} \ left（ - （x-3）^ 2 + 4 \右）\\＆= 4- \ lim_ {x \ lightarrow- \ infty}（x-3）^ 2。\结束{对齐}$

自从 $（x-3）^ 2 \ lightarrow \ infty$作为 $x \ lightarrow- \ infty，$答案是

$\ lim_ {x \ lightarrow- \ idty} \ left（-x ^ 2 + 6x-5 \右）= - \ idty。\ _\正方形$

找 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow \ idty} \ frac {1} {x + 7}}。$

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由于分母接近无穷大，即，即 $x + 7 \ lightarrow \ infty$作为 $x \ lightarrow \ infty，$答案是

$\ lim_ {x \ lightarrow \ infty} \ frac {1} {x + 7} = \ frac {1} {\ displaystyle {\ lim_ {x \ lightarrow \ idty}（x + 7）}} = 0。\ _\正方形$