限制代换

极限的定义是当函数中的变量越来越接近某一特定值时函数所接近的值。假设我们有一个极限描述为 ${\ lim_ {x \ rightarrow} f (x)}$．表示的值 $f (x)$当 $x$无限接近于 $一个,$但不完全等于 $一个$．的替换规则是一种求极限的方法，通过简单的代换 $x$与 $一个$．这个规则的数学表现是

$\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow} f (x) = f (a)}。$

让我们先试几个例子。

找出…的价值 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow-1} x ^ 2}$．

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这是简单的。用代换法则代入 $x = 1$，我们有

$\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow-1} x ^ 2} = \ left.x ^ 2 \ | _ {x = 1} =(1) ^ 2 = 1。\ _ \广场$

然而，替换规则并不总是有效的。为了使用代换规则，函数 $f (x)$必须满足以下条件:

$函数f(x)\text{必须是连续的。｝$

这意味着 $f (x)$不会在它的范围内破坏任何地方。不连续函数的一个例子是 $f (x) = \压裂{1}{x}$．试着画。你会注意到图表在 $x = 0$，因此在点处是不连续的 $x = 0$，所以求时不能使用代换规则 $\ \ displaystyle {\ lim_ {x rightarrow0} \压裂{1}{x}}$．事实上，这个极限根本不存在，但我们将在后面讨论它。

找出…的价值 $\ \ displaystyle {\ lim_ {x rightarrow0} \压裂{x} {\ lvert x \ rvert}}。$

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不连续

该图描绘了函数的图形 $f (x) = \压裂{x} {\ lvert x \ rvert}。$观察图在点处是不连续的 $x = 0$，这意味着我们不能用代换法则来求给定的极限。 $_ \广场$

因此，现在我们的讨论得到了一个简单而明确的结论:“如果函数是连续的，只需将变量替换为它收敛的值!”

找到 $\ \ displaystyle {\ lim_ {x rightarrow - \ infty} \离开(- x ^ 2 + 6 * 5 \右)}。$

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把表达式改写一下

$\开始{对齐}\ lim_ {x \ rightarrow - \ infty} \离开(- x ^ 2 + 6 * 5 \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow - \ infty} \离开(- (3)^ 2 + 4 \)\ \ & = 4 - \ lim_ {x \ rightarrow - \ infty}(3) ^ 2。结束\{对齐}$

自 $(3) ^ 2 \ rightarrow \ infty$作为 $x \ \ infty rightarrow,$答案是

$\ lim_ {x \ rightarrow - \ infty} \离开(- x ^ 2 + 6 * 5 \右)= - \ infty。\ _ \广场$

找到 $x \ rightarrow \ \ displaystyle {\ lim_ {infty} \压裂{1}{x + 7}}。$

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因为分母趋近于无穷，也就是。 $x + 7 \ rightarrow \ infty$作为 $x \ rightarrow \ infty,$答案是

$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{1}{x + 7} = \压裂{1}{\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} (x + 7)}} = 0。\ _ \广场$