保理限制

找到一个保理限制是一种通过消去公因式来求极限的方法。这有时允许我们将一个不定式转换成一个允许直接求值的形式。

找到

$\lim_{x \rightarrow 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}。$

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使用替换规则给了

$\ lim_ {x \ rightarrow 3} \ dfrac {x ^ 2 - 9}{3} = \压裂{3 ^ 2 - 9}{3}= \压裂{0}{0},$

这是一个不确定的数。像上面的例子一样以一个不确定的数字结尾的极限被称为in不定式．在微积分中，有7个主要的不定数:

$\开始{数组}{c} & \压裂{0}{0},& \压裂{\ infty} {\ infty}, & \ infty - \ infty & \ infty \ cdot 0,四维^ 0 & \ infty ^ 0 & 1 ^ \ infty。\{数组}结束$

那么，如何求不定式的极限值呢?限制以。的形式结束 $\压裂{0}{0}$通常可以通过分子分母因式分解得到。然后求公约数，分子分母同时除以公约数。因此，上述例子的解决方案如下:

$\ lim_ {x \ rightarrow 3} \ dfrac {x ^ 2 - 9} {3} = \ lim_ {x \ rightarrow 3} \ dfrac {(- 3) (x + 3)} {3} = \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 3} (x + 3)} = 3 + 3 = 6。$

观察到 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 3}(x-3)}=0$，因此是公约数 $- 3$是使分子分母为零的罪魁祸首。 $_ \广场$

是什么 ${\ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 5}} \压裂{x ^ 2-x-20} {x5} ?$

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我们有

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{x ^ 2-x-20} {x5} & = \ lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{(x5) (x + 4)} {x5} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow 5} (x + 4) \ \ \ \ & = 9。\ _\方形\端{对齐}$

是什么 ${\ displaystyle \ lim_ h \ rightarrow{0}} \压裂{(h + 4) ^ - 18} {h} ?$

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我们有

${对齐}\ \开始lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{(h + 4) ^ - 18} {h} & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{h ^ 2 + 8 h +并且}{h} \ \ \ \ & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{h (h + 8)} {h} \ \ \ \ & = \ displaystyle {\ lim_ {h \ rightarrow0} (h + 8)} \ \ \ \ & = 8。\ _\方形\端{对齐}$

当我们遇到有平方根的极限时，分子分母乘以共轭，然后因式分解通常是解。

找到 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\√{x^2+4x}-x\right)}。$

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插入 $x = \ infty$给出的不定式 $\ \ infty infty$．使用共轭 $\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x$给了

$\开始{对齐}\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \左\√{x ^ 2 + 4 x} - x \右)}& = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{\左\√{x ^ 2 + 4 x} - x \) \左\√{x ^ 2 + 4 x} + x \右)}{\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{x ^ 2 + 4 x ^ 2} {\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{4 x} {\ sqrt {x ^ 2 + 4 x} + x} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{4}{\√6{1 + \压裂{4}{x}} + 1} \ \ \ \ & = \压裂{4}{2}\ \ \ \ & = 2。\ _\方形\端{对齐}$

是什么 ${\ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0}} \压裂{\ 2倍根号{4 + 3 x}} {x} ?$

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这一次，使用代换法则给出 $\压裂{0}{0}$．同样，分子分母同时乘以共轭式 $\ sqrt {4 + 3 x} + 2$并获得

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{\ 2倍根号{4 + 3 x}} {x} & = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{\左\√{4 + 3 x} 2 \右)\离开\√{4 + 3 x} + 2 \右)}{x左\ cdot \ \√{4 + 3 x} + 2 \对吧 )}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{(4 + 3 x) 4} {x左\ cdot \ \√{4 + 3 x} + 2 \ )}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{3 x} {x左\ cdot \ \√{4 + 3 x} + 2 \ )}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{3}{\ sqrt {4 + 3 x} + 2} \ \ \ \ & = \压裂{3}{4}。\ _\方形\端{对齐}$

是什么 $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}\left(x-\√{x^2-7x+2}\right)}。$

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我们有 $\开始{对齐}\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \离开x - \√x ^ {2-7x + 2} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{\离开x - \√x ^ {2-7x + 2} \) \离开(x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2} \右)}{x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2 }}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{x ^ 2 - (x ^ 2-7x + 2)} {x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2 }}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{7 x - 2} {x + \ sqrt {x ^ 2-7x + 2 }}\\\\ &=\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{7 - \压裂{2}{x}}{1 + \√{1 - \压裂{7}{x} + \压裂{2}{x ^ 2 }}}\\\\ &=\ 压裂{7}{2}。\ _\方形\端{对齐}$

找到 $\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 8} \压裂{\ sqrt [3] {x} 2} {x 8}}。$

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我们有 ${对齐}\ \开始displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 8} \压裂{\ sqrt [3] {x} 2} {x 8}} & = \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 8} \压裂{\ sqrt [3] {x} 2}{\左\√[3]{x} 2 \右)左\ \√[3]{x ^ 2} + 2 \√[3]{x} + 4 \ )}}\\\\ &=\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow 8} \压裂{1}{\ sqrt [3] {x ^ 2} + 2 \√[3]{x} + 4 }}\\\\ &=\ 压裂{1}{12}。\ _\方形\端{对齐}$

是什么 $x \ rightarrow \ displaystyle {\ lim_{0} \压裂{1}{x} \离开(1 - \压裂{4}{(x + 2) ^ 2} \右)}。$

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我们有 ${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{1}{x} \离开(1 - \压裂{4}{(x + 2) ^ 2} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{1}{x} \ cdot \压裂{(x + 2) ^ 2 - 4} {(x + 2) ^ 2} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{x ^ 2 + 4 x} {x (x + 2) ^ 2} \ \ \ \ & = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \压裂{x + 4} {(x + 2) ^ 2} \ \ \ \ & = 1。\ _\方形\端{对齐}$

找到 $h \ rightarrow \ displaystyle {\ lim_{0} \压裂{\压裂{1}{x + h} - \压裂{1}{x}} {h}}。$

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我们有 ${对齐}\ \开始lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{\压裂{1}{x + h} - \压裂{1}{x}} {h} & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{\水平间距{3毫米}\压裂{- h} {x (x + h)} \水平间距{3毫米}}{h} \ \ \ \ & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{1}{x (x + h )}\\\\ &=-\ 压裂{1}{x ^ 2}。\ _\方形\端{对齐}$