拉格朗日力学GyD.F4y2Ba

牛顿运动定律是所有经典力学的基础。从天体力学到旋转运动，再到理想气体定律，一切都可以用牛顿写下的强大原理来解释。应用牛顿算法的主要困难是确定物体之间的所有力，这需要一些独创性。GyD.F4y2Ba

这都是因为牛顿定律是用向量写成的这在笛卡尔坐标系中是最容易使用的。当然可以在任何坐标系中重写向量，但这不是最透明的操作。我们还需要明智地选择坐标系，以便简化所有计算。此外，选择错误的参照系会引起混淆的伪影。GyD.F4y2Ba

已故的伟大的约瑟夫·路易斯·拉格朗日GyD.F4y2Ba

如果我们的重要量能在最方便的坐标系中很容易地重写和求解，这个方案将更加有用。我们想象的是用标量，而不是向量，来描述系统的能力。也就是说，写下质量、能量或动量的平方，这些数字在坐标变化下是不变的。这就是力学拉格朗日公式的目的。GyD.F4y2Ba

让我们首先回顾一下牛顿力学的一些难题，并指出是什么使它们如此难以解决。GyD.F4y2Ba

在不尝试求解的情况下，我们指出了牛顿方法的一些具有挑战性的问题。GyD.F4y2Ba

质量在滑动的楔子上GyD.F4y2Ba

考虑下面滑动楔子上的块状物体。在重力的作用下，石块和楔子都可以在没有摩擦的情况下自由运动。建立这个问题是困难的，原因有两个。首先是质量GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$在移动时沿地板移动GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$以一个角度移动，这在选择坐标(地面框架中的笛卡尔网格，以及倾斜表面框架中的另一个网格)时产生了张力。第二个是法向力GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$取决于运动的运动GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

$$纺纱环上的珠子GyD.F4y2Ba

我们也可以考虑在旋转环上自由滑动的珠子。这种情况不容易屈服于矢量描述，因为重力要求我们使用笛卡尔坐标，而环的约束要求我们使用极坐标。找到一种既易于思考又易于计算的表示法绝非易事。GyD.F4y2Ba

$$耦合的钟摆GyD.F4y2Ba

作为最后一个例子，考虑耦合摆，其中一个摆挂在另一个的末端。这种情况受到便利坐标的选择、两个摆的耦合以及防止两个摆分开的约束的困扰。GyD.F4y2Ba

这些问题中的每一个都很难用通常的方法来解决，比如识别力、写下约束条件、转换到一个方便的坐标系，以及可能通过巧妙的替换来解耦合方程。让我们在一份反对愿望的清单中明确地概述这些困难。GyD.F4y2Ba

• 矢量表示GyD.F4y2Ba当我们需要改变坐标系统时，用矢量表示系统会削弱我们的能力。例如，虽然很容易把重力写成GyD.F4y2Ba $z - g \帽子{}GyD.F4y2Ba$在笛卡尔坐标系中，用角度来表示钟摆的运动是最自然的GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$挥杆。重写摆轴鲍勃的加速度向量GyD.F4y2Ba $\ddot{\vec{r}GyD.F4y2Ba$是繁琐的，需要对径向和方向单位向量的变换性质有专门的知识。在更复杂的问题中，这只会成为更大的障碍。与之相比，我们可以轻松地变换像动能这样的标量GyD.F4y2Ba $\ textrm{动向}=\frac12 m v^2 \rightarrow \frac12 m \omega^2 r +\frac12 m \dot{r}^2$. 因此，我们将受益于从矢量量中解放出来的力学。GyD.F4y2Ba

• 识别部队GyD.F4y2Ba例在运用牛顿定律时，我们必须考虑到所有的力以及它们的反力。在有多个粒子的系统中，当粒子之间的接触力爆炸成一个组合噩梦时，这可能会变得瘫痪。我们应该希望有一种机制，这种记帐不会妨碍我们分析感兴趣的问题。因此，如果我们能找到一种方法，使我们自己从矢量力的链条中解放出来，我们应该能够推理出更复杂的系统。GyD.F4y2Ba

• 约束GyD.F4y2Ba在牛顿力学中，我们必须在运动方程中明确地建立约束条件。例如，斜面上的质量必须服从斜面，这必须通过引入表示斜面约束的法向力来处理。这很快就会变得非常复杂，特别是当约束是由非刚性表面施加的时候，比如上面的第一个例子。如果可以隐式地施加约束，例如，在我们的坐标选择中，我们的任务就会容易得多。GyD.F4y2Ba

现在，我们提醒自己牛顿力学的原理，并提出一个公式，将帮助我们努力重塑力学，以能量为基础，无矢量的方式。牛顿第二定律指出，任何粒子的加速度都由作用在粒子上的合力给出，其中加速度和合力都是一维、二维或三维的矢量:GyD.F4y2Ba

$\ vec {f} _ \ text {net} = m \ vec {a}。GyD.F4y2Ba$

我们回忆一下功能原理，它说明合力(即非约束力)对一个粒子所做的功等于粒子动能的增加。我们忽略了约束力，因为它们总是垂直于运动方向，因此对系统不做功。GyD.F4y2Ba

考虑一个任意的、无穷小的位移GyD.F4y2Ba $\ delta \ vec {r}GyD.F4y2Ba$粒子在净力作用下的位置。我们可以说GyD.F4y2Ba $\vec{F}\cdot\delta\vec{r}=m\vec{a}\cdot\delta\vec{r}GyD.F4y2Ba$．如果我们沿着一个有限位移积分，我们会发现GyD.F4y2Ba

$W=\int\vec{F}\uux\text{net}\cdot\delta\vec{r}GyD.F4y2Ba$

因此GyD.F4y2Ba

$\ int \离开文本(vec {F} _ \ \{净}- m vec {} \ \) \ cdot \三角洲\ vec {r} = 0。GyD.F4y2Ba$

这一陈述被称为达朗贝尔原则，是我们努力的出发点。GyD.F4y2Ba

我们现在开始重新表述牛顿力学，消除我们在愿望清单中列出的抱怨。GyD.F4y2Ba

我们的第一个愿望是把矢量力换成标量能量。我们记得保守力是那些可以写成势函数的空间导数的力，也就是。GyD.F4y2Ba

$F_i = - \压裂{\部分V (r_1, \ ldots r_n)}{\部分r_i}。GyD.F4y2Ba$

在最低水平（即颗粒相互作用）中，所有力都是保守的，但在宏观观点中，颗粒之间的保守力通常通过溶液摩擦或粘度等耗散力来近似。目前，让我们继续保守力量，并担心如何在以后容纳耗散克劳德。我们的第一步是重写牛顿的第二律法GyD.F4y2Ba $\ vec {f} = m \ ddot {\ vec {r}}GyD.F4y2Ba$作为GyD.F4y2Ba

$m\ddot{\vec{r}}\cdot\delta\vec{r}=-\frac{\partial V（\vec{r}}}}{\partial\vec{r}}}\cdot\delta\vec{r}=-\big[\nabla\URV（\vec{r}）\big]\cdot\delta\vec{r}。GyD.F4y2Ba$

因此，通过将潜在能量的空间衍生物与加速度向量相关，我们已经用力分配。但是，我们仍然在向量中处理。我们的下一个目标是消除我们对使用矢量数量代表位置和速度的依赖。具体地说，我们想摆脱任何包含位置向量的衍生物的条款，并用能量等标量数的衍生物替换它们。GyD.F4y2Ba

我们从达朗贝尔原理的陈述开始GyD.F4y2Ba

$vec {F} _ \ \文字{净}\ cdot vec {r} = m \ \三角洲\压裂vec {r}} {d ^ 2 \ {dt ^ 2} \ cdot \三角洲\ vec {r},GyD.F4y2Ba$

哪里GyD.F4y2Ba $vec {rδ\ \}GyD.F4y2Ba$是粒子的无限小运动。我们可以马上把右边写成GyD.F4y2Ba

$左(m \ \压裂{d} {dt} \离开(\压裂vec {r}} {d \ {dt} \ cdot \δvec {r} \ \右)- \压裂vec {r}} {d \ {dt} \ cdot \压裂vec {r}} {d \三角洲\ {dt} \右),GyD.F4y2Ba$

我们在哪里应用了身份GyD.F4y2Ba $^ ' = x^ ' y + y^ ' xGyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

如前所述，我们有一个向量方程GyD.F4y2Ba $\向量{r}GyD.F4y2Ba$这对特定选择的坐标（笛卡尔，球形等）不作提到。我们现在以坐标为基础扩展RHSGyD.F4y2Ba $r_1, \ ldots r_n:GyD.F4y2Ba$

$\ begin {对齐}＆m \ sum_k \ left [\ frac {d} {dt} \ left（\ frac {d \ vec {r}} {dt} \ cdot \ frac {\ partial \ vec {r}} {\P.一种R.T.一世一种l r_k}\delta r_k \right) - \frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial r_k} \delta r_k\right] \\ =& m\sum_k\left[\frac{d}{dt}\left( \dot{\vec{r}}\cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial r_k}\right) - \dot{\vec{r}}\cdot\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial r_k} \right]\delta r_k. \end{aligned}$

现在,对于任何GyD.F4y2Ba $\向量{r}GyD.F4y2Ba$，我们有以下身份，称为点取消:(为什么是这样的?)GyD.F4y2Ba

点取消GyD.F4y2Ba

如果我们展开向量GyD.F4y2Ba $\向量{r}GyD.F4y2Ba$在任何坐标系下GyD.F4y2Ba $\ {r_1，\ ldots，r_n \}GyD.F4y2Ba$，我们有GyD.F4y2Ba

$\压裂vec {r}}{\部分\{\部分r_k} = \压裂{\部分\点{\ vec {r}}}{\部分\点{r} _k}。GyD.F4y2Ba$

利用这个恒等式，右边就变成GyD.F4y2Ba

$左[\ frac {d} {dt} \ left（\ dot {\ vec {r}} \ cdot \ frac {\ partial \ dot {\ vec {r}}} {\ partial \ dot {r {r} _K} \右） - \ dot {\ vec {r}} \ cdot \ frac {\ partial \ dot {\ vec {r}}} {\ partial r_k}} {\ partial r_k}} \ liter] \ delta r_k。GyD.F4y2Ba$

认识到GyD.F4y2Ba $\点{\vec{r}}=\vec{v}GyD.F4y2Ba$，我们把它重写为GyD.F4y2Ba

$\begin{aligned} &m\sum_k\left[\frac{d}{dt}\left(\frac {partial v^2}{partial \dot{r}_k}\right) - \ fra12 \frac{partial v^2}{partial r_k} \right]\delta r_k \ &= sum_k\left[\frac{partial T}{partial r_k} \right]\ frac{partial T}{partial r_k} \right]\delta r_k， \end{aligned}GyD.F4y2Ba$

在第二行中，我们在哪里进行了替换GyD.F4y2Ba $T = 12 mv^2。GyD.F4y2Ba$

因此GyD.F4y2Ba

$\{对齐}-开始\ sum_k \压裂{\部分V}{\部分r_k} \δr_k & = \ sum_k \离开[\压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\部分T}{\部分\点{r} _k} \右)- \压裂{\部分T}{\部分r_k} \右]\δr_k \ \ 0 & =左\ sum_k \[\压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\部分T}{\部分\点{r} _k} \右)- \压裂{\部分T}{\部分r_k} + \压裂{\部分V}{\部分r_k}r_k。\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

记住这个小位移GyD.F4y2Ba $vec {rδ\ \}GyD.F4y2Ba$是任意的。在三维空间中，我们可以GyD.F4y2Ba $\ delta \ vec {r} = \ langle \ delta_x，0，\ delta_z \ rangleGyD.F4y2Ba$或GyD.F4y2Ba $角度0,0，角度GyD.F4y2Ba$．但是，等式必须是真实的，独立于位移，即总和中的每个术语与坐标位移无关GyD.F4y2Ba $\ delta r_k。GyD.F4y2Ba$因此,我们有GyD.F4y2Ba

$0 = \压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\部分T}{\部分\点{r} _k} \右)+ \压裂{\部分\离开(V - T \右)}{\部分r_k}GyD.F4y2Ba$

每人GyD.F4y2Ba $K.GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

现在，对于保守势力来说，GyD.F4y2Ba $V.GyD.F4y2Ba$是位置变量的纯函数吗GyD.F4y2Ba $\ frac {\ partial v} {\ partial \ dot {r} _k} = 0GyD.F4y2Ba$．因此我们可以移动GyD.F4y2Ba $V.GyD.F4y2Ba$转换为导数并写入GyD.F4y2Ba

$\压裂{\部分\离开(T - V \右)}{\部分r_k} = \压裂{d} {dt} \压裂{\部分\离开(过程\右)}{{r} _k} \部分\点。GyD.F4y2Ba$

因此，我们完全消除了经典力学中对位置和速度矢量的使用。如果我们同意把动能和势能的差称为GyD.F4y2Ba $L=T-VGyD.F4y2Ba$，我们可以把等式简化为GyD.F4y2Ba

$\压裂{\部分L}{\部分r_k} = \压裂{d} {dt} \压裂{\部分L} {{r} _k} \部分\点。GyD.F4y2Ba$

的数量GyD.F4y2Ba $过程GyD.F4y2Ba$称为系统的拉格朗日方程GyD.F4y2Ba $L.GyD.F4y2Ba$叫做欧拉方程。在任何感兴趣的问题中，我们通过对每个变量的欧拉方程求值，以直接的方式得到运动方程。例如，在球坐标系中，我们有三个欧拉方程GyD.F4y2Ba $r,θ\GyD.F4y2Ba$,GyD.F4y2Ba $\菲。GyD.F4y2Ba$

这GyD.F4y2Ba拉格朗日GyD.F4y2Ba那GyD.F4y2Ba $L.GyD.F4y2Ba$，是动能之差GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$和潜在的能量GyD.F4y2Ba $五:GyD.F4y2Ba$

$L(r， \dot{r}) \equiv T(r， \dot{r}) - V(r)。GyD.F4y2Ba$

我们的最后一个目标是消除明确包含的约束力。也许在排除了力之后，我们也排除了约束力。事实上，它们在达朗贝尔原理的引入时就被抛弃了。在拉格朗日公式中，约束可以以几种方式合并;我们将关注最简单的。GyD.F4y2Ba

当我们用坐标代替向量时，一个重要的事实被忽略了。我们不仅消除了向量，而且用广义坐标重申了机制，即我们可以自由选择任何最自然的坐标系统来描述我们的系统。例如，如果一个粒子被限制在球面上移动，我们可以使用一个球面坐标系GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$是保持不变的。因此，我们通过选择坐标本质上包含了约束条件!GyD.F4y2Ba

这一切都有点摘要。让我们将拉格朗日配方应用于一些问题，并为我们所做的内容制定具体的感觉。GyD.F4y2Ba

在斜面上的质量GyD.F4y2Ba

质量沿着斜面向下滑动，所以我们可以选择坐标为沿着斜面的距离GyD.F4y2Ba $S.GyD.F4y2Ba$. 在这个坐标系中，质量的动能由下式给出GyD.F4y2Ba $t = \ frac12 m \ dot {s} ^ 2GyD.F4y2Ba$. 如果我们定义初始势能为零，那么势能是GyD.F4y2Ba $S.GyD.F4y2Ba$是由GyD.F4y2Ba $v = + mgs \ sin \ thetaGyD.F4y2Ba$哪里GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$是斜坡的角度。GyD.F4y2Ba

因此我们的拉格朗日量是GyD.F4y2Ba

$l = \ frac12 m \ dot {s} ^ 2 - mgs \ sin \ theta。GyD.F4y2Ba$

作为GyD.F4y2Ba $S.GyD.F4y2Ba$是这个问题中唯一的变量坐标，我们有一个euler方程来评估，我们现在做：GyD.F4y2Ba

$\开始{对齐}\压裂{d} {dt} \压裂{\部分L}{\部分\点{年代}}& = \压裂{\部分L}{\部分年代}\ \ m \压裂{d} {dt} \点{年代}& m =θ毫克\罪\ \ \ \ ddot{年代}&θ= - mg罪\ \ \ \ \ ddot{年代}& = - g \罪\θ,结束\{对齐}GyD.F4y2Ba$

这是运动方程，我们期望质量在斜面上。请注意，我们的解决方案几乎不需要思考。只要我们记下动能和势能，这个解就相当于取了一些无意识的导数。GyD.F4y2Ba

天体力学GyD.F4y2Ba

假设我们有一颗质量很大的恒星GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$和一个弥撒的星球GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$比恒星的能量要小得多。行星和恒星通过引力势相互作用GyD.F4y2Ba $v（r）= -gmm / r，GyD.F4y2Ba$哪里GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$是恒星和行星之间的距离。运动方程是什么?GyD.F4y2Ba

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鉴于问题的对称性，在极地坐标中写入最方便GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$是恒星和行星之间的距离GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$地球绕轨道运行的角度。GyD.F4y2Ba

行星的动能由下式给出GyD.F4y2Ba $t = \ frac12 m \ dot {r} ^ 2 + \ frac12 m \ left（r \ dot {\ theta} \右）^ 2GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

因此我们的拉格朗日量是GyD.F4y2Ba

${r}^2 + (r\dot{\theta}}^2 + GMm/r。GyD.F4y2Ba$

现在，两者都有可能GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$来改变，所以我们有两个欧拉方程要建立。的一个GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$是由GyD.F4y2Ba

$\开始{aligned}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}&=\frac{\partial L}{\partial r}\\m\ddot{r}&=mr\dot{\theta}^2-GMm/r^2，结束{aligned}GyD.F4y2Ba$

我们期望的运动方程是什么GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

为了GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$我们有GyD.F4y2Ba

${对齐}\ \开始压裂{d} {dt} \压裂{\部分L}{\部分\点{\θ}}& = \压裂{\部分L}{\部分\θ}\ \ \压裂{d} {dt} \离开(mr ^ 2 \点{\θ}\右)& = 0。\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

欧拉方程GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$告诉我们一些不同寻常的事情。括号里的量，行星的角动量，是运动的常数。GyD.F4y2Ba

注意到，我们不需要知道力矩或角动量的任何东西，我们只是通过欧拉方程得到它。比较我们的拉格朗日方法的解使用牛顿算法GyD.F4y2Ba开普勒定律的推导GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

从欧拉方程中找到守恒量的例子绝非偶然。这是拉格朗日力学的一般特征的一个例子。在说明拉格朗日形式和运动守恒量之间的一般联系之前，我们将进一步观察拉格朗日形式主义。GyD.F4y2Ba

注意，在笛卡尔坐标系中，动能由GyD.F4y2Ba $T = m \dot{r}^2GyD.F4y2Ba$．由于潜力是位置的功能，因此速度GyD.F4y2Ba $\点{r}GyD.F4y2Ba$只会出现在动能项中。因此，数量GyD.F4y2Ba $\压裂{\部分L}{\部分\点{r}}GyD.F4y2Ba$在欧拉方程中总是等于GyD.F4y2Ba $m\dot{r}GyD.F4y2Ba$．然而，这只是粒子的动量。因此，我们可以说GyD.F4y2Ba $p_r = \ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {r}}GyD.F4y2Ba$，即粒子的势力只是拉格朗日相对于速度的衍生物。GyD.F4y2Ba

因此，我们可以将欧拉方程改写为GyD.F4y2Ba

${d}{dt}p_r = \frac{partial V}{partial r}。GyD.F4y2Ba$

注意，在轨道力学的例子中，第二个欧拉方程产生了GyD.F4y2Ba ${partial \ L}{partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}GyD.F4y2Ba$，粒子的角动量。因此,我们有GyD.F4y2Ba $p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}GyD.F4y2Ba$就像我们之前对线性动量做的那样。GyD.F4y2Ba

事实上，通常情况下，拉格朗日对任何速度变量的偏导数等于与该变量相关的广义动量。GyD.F4y2Ba

因此，我们可以将拉格朗日公式改写为GyD.F4y2Ba

$\dot{p}_i = \frac{partial L}{partial r_i}。GyD.F4y2Ba$

我们现在可以陈述一个关于拉格朗日的守恒原理。GyD.F4y2Ba

动量的Noether定理GyD.F4y2Ba

如果坐标GyD.F4y2Ba $r_kGyD.F4y2Ba$不出现在系统的拉格朗日量中，则相应的动量是守恒量。GyD.F4y2Ba

假设坐标GyD.F4y2Ba $r_kGyD.F4y2Ba$没有出现在拉格朗日方程中，那么GyD.F4y2Ba

$\点{p}k=\frac{\partial L}{\partial r}k}=0。GyD.F4y2Ba$

因此，在轨道力学的例子中，我们可以看到，拉格朗日不参考角变量GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$，因此角动量不随时间变化。GyD.F4y2Ba

在结束这篇文章之前，我们将重温我们在开始时为牛顿力学提出的两个难题。它是GyD.F4y2Ba强烈GyD.F4y2Ba建议您尝试使用牛顿方法来设置这些问题，以便更充分地欣赏拉格朗日配方的力量。GyD.F4y2Ba

质量在滑动的楔子上GyD.F4y2Ba

在这个问题中，物体和楔子都可以自由滑动。求质量的加速度。GyD.F4y2Ba

设置坐标的一种方法是在曲面的框架中使用笛卡尔坐标系。我们称之为楔块左边缘的水平位置GyD.F4y2Ba $x_wGyD.F4y2Ba$，以及质量的水平位置GyD.F4y2Ba $x_mGyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

这里唯一的挑战是用GyD.F4y2Ba $x_wGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $x_mGyD.F4y2Ba$. 楔块边缘和质量之间的相对水平距离为GyD.F4y2Ba $x_m——x_wGyD.F4y2Ba$．如果我们想象这是一个三角形的基础，其斜边是一个角度GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$，然后我们可以找到垂直下降GyD.F4y2Ba

$\begin{aligned} \text{hyp}\cos\theta &= (x_m - x_w) \\ \text{hyp}\sin\theta &= y \\ Rightarrow y &= tan\theta\left(x_m - x_w\right)\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

因此,我们有GyD.F4y2Ba $y=\tan\theta\left（x\u m-x\u w\right）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\ dot {y} = \ tan \ theta \ left（\ dot {x} _m - \ dot {x} _w \右）GyD.F4y2Ba$．如果我们将水平表面设置为重力势能的零GyD.F4y2Ba $\大（GyD.F4y2Ba$以便GyD.F4y2Ba $V=-mg\tan\theta\left（x\u m-x\u w\right）\big，GyD.F4y2Ba$我们可以把系统的拉格朗日方程写成GyD.F4y2Ba

$L = \ frac12 M \点{x} _w ^ 2 + \ frac12 M \点{x} _m ^ 2 + \ frac12 M \ tan ^ 2 \θ\离开(\点{x} _m - \点{x} _w \右)^ 2 +毫克\ tan \θ\离开(x_m - x_w \右)。GyD.F4y2Ba$

因此，系统的运动由两个欧拉方程来定义GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {x} _w}＆= \ frac {\ partial l} {\ partial x_w} \\ m \ ddot {x} _w + m \ left（\ ddot {x} _w - \ ddot {x} _m \ rote）\ tan ^ 2 \ theta＆= -mg \ tan \ theta \ neg {对齐}GyD.F4y2Ba$

和GyD.F4y2Ba

$\开始{aligned}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}\m}&=\frac{\partial L}{\partial x{m}\\m\ddot{x}\m+m\left（\ddot{x}\m-\ddot{x}\w\right）\tan 2\theta&=mg\tan theta\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

我们可以很容易地解出这个方程组GyD.F4y2Ba $\ ddot {x} _wGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\ ddot {x} _mGyD.F4y2Ba$求系统的运动。GyD.F4y2Ba

解GyD.F4y2Ba $\ ddot {x} _mGyD.F4y2Ba$，我们发现GyD.F4y2Ba

$\ddot{x}m=\dfrac{Mg\cot\theta}{m+m\csc^2\theta}。GyD.F4y2Ba$

要检查我们的解决方案，我们可以采取熟悉的限制。GyD.F4y2Ba

如果GyD.F4y2Ba $M \ gg MGyD.F4y2Ba$，则应在平面固定的地方恢复通常的斜面解。如果GyD.F4y2Ba $m \ gg m，GyD.F4y2Ba$然后是质量的水平加速度GyD.F4y2Ba $\ ddot {x} _mGyD.F4y2Ba$就变成了GyD.F4y2Ba $g\cot\theta/\csc^2\theta，GyD.F4y2Ba$它等于GyD.F4y2Ba $g\cos\theta\sin\thetaGyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

因此，沿着平面的质量加速等于GyD.F4y2Ba $g\sin\thetaGyD.F4y2Ba$我们期待的那样。GyD.F4y2Ba

旋转箍上的珠子GyD.F4y2Ba

在这个问题中，一颗珠子在一个由马达以角速度旋转的箍上滑动GyD.F4y2Ba $\点{\φ}= \ωGyD.F4y2Ba$．一开始，珠子会根据它的初始位置向下或向上滑动，但最终它会在重力和向心加速度的平衡给出的一些平衡角度，由于房间的旋转。我们的问题是求平衡角GyD.F4y2Ba ${eq} \ theta_ \文本。GyD.F4y2Ba$

钢圈可以自由地沿刚性圆箍滑动，因此系统中唯一的自由变量是角度GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$珠子用垂直制作。球面坐标的选择是从问题的对称性的清晰。我们可以写下珠子的动能GyD.F4y2Ba $T = = (r\dot{\ phi} r\sin\theta\right)^2 + (r\dot{\theta}^2\right)GyD.F4y2Ba$. 如果我们把环的底部设为重力势能的最小值，那么我们就有了GyD.F4y2Ba $V = mg(1- cos) rGyD.F4y2Ba$．因此拉格朗日等于GyD.F4y2Ba

$L = \frac12 m \left(\dot{\phi} r\sin\theta\right)^2 + \frac12 m \left(r\dot{\theta} right)^2 + mg(\cos\theta - 1) rGyD.F4y2Ba$

欧拉方程GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba

$\开始{aligned}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}&=\frac{\partial L}{\partial\theta}\\mr^2\ddot{\theta}&=-mg\sin\theta r+m\dot{\phi 2r^2\sin theta\cos\theta\\\\\\&-m\sin theta\theta\left（gr-\omega^2r^2\theta\right）\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

因此,我们有GyD.F4y2Ba $\ ddot{} \θ= 0GyD.F4y2Ba$什么时候GyD.F4y2Ba $\ theta_ \ text {eq} = \ cos ^ { - 1} \ frac {g} {\ omega ^ 2 r}GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

注意,如果GyD.F4y2Ba $\ ddot {\ theta} = 0GyD.F4y2Ba$，然后我们有GyD.F4y2Ba $\ dot {\ theta} = \ \ text {constant}GyD.F4y2Ba$．然而,由于GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$必须介于GyD.F4y2Ba $0.GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\πGyD.F4y2Ba$那GyD.F4y2Ba ${\ \点θ}GyD.F4y2Ba$必须等于零(它不能在不改变方向的情况下持续改变一组有限值)。GyD.F4y2Ba

在旋转杆上的珠子GyD.F4y2Ba

考虑一个光滑的杆，通过有角速度通过电动机旋转GyD.F4y2Ba $\ωGyD.F4y2Ba$．在零的时候，一个质量珠GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$放置的距离为GyD.F4y2Ba $\εGyD.F4y2Ba$沿着杆，自由滑动无摩擦，电机接通。表明珠的径向位置作为时间的函数是由GyD.F4y2Ba

$r (t) = \ε\ cosh \ωt。GyD.F4y2Ba$

由于杆的旋转是圆的，极坐标是描述系统的自然选择。系统没有势能，所以拉格朗日量是由动能给出的GyD.F4y2Ba

$l = \ frac12 m \ dot {r} ^ 2 + \ frac12 m r ^ 2 \ dot {\ theta} ^ 2。GyD.F4y2Ba$

通过观察拉格朗日公式，似乎GyD.F4y2Ba $点\ p{} _ \θGyD.F4y2Ba$是恒定的,因为GyD.F4y2Ba $\θ.GyD.F4y2Ba$没有出现在拉格朗日公式中。然而,回想一下,GyD.F4y2Ba $\点{\θ}= \ωGyD.F4y2Ba$由旋转杆的电机施加。因此，我们有一个欧拉方程GyD.F4y2Ba $接待员:GyD.F4y2Ba$

$\ begin {对齐} \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial l}＆= \ frac {r}}＆= \ frac {r}}＆= \ frac {\ partial l} {\ partial l} \\ m \ ddot {r}＆= mr \ dot {\ theta} ^ 2 \\＆= mr \ oomega ^ 2，\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

它有解GyD.F4y2Ba $r = Ae^{{\ t} + Be^{-\ t}GyD.F4y2Ba$．GyD.F4y2Ba

在零时，我们有GyD.F4y2Ba $r = \εGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $r \点{}= 0GyD.F4y2Ba$，我们可以解出GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$在这些初始条件下。我们发现GyD.F4y2Ba $A = B = \ε/ 2GyD.F4y2Ba$我们有GyD.F4y2Ba $R = frac{e^{\ t} + e^{-\ t} {2} = \ \cosh \ t。GyD.F4y2Ba$