开普勒定律的推导

开普勒定律描述的是物体在中心的平方反力作用下的运动。为了简单起见，我们考虑太阳系中行星围绕太阳的运动，地心引力是中心力。除此之外，开普勒定律允许人们预测任何给定时间内行星的位置和速度，卫星坍塌到行星表面的时间，以及行星轨道的周期作为其轨道几何形状的函数。虽然这些定律最初是由开普勒在仔细分析了经验数据后得出的，但直到牛顿将每个定律作为他的轨道力学的一部分推导出来，才有了完整的理解。在他的足迹中，我们将依次获得每一个定律，当我们考虑行星在大质量恒星引力作用下的轨道时。

开普勒的行星运动定律表明

• 一颗行星以椭圆轨道围绕太阳运行，太阳是焦点之一。
• 连接行星和太阳的线段在相等的时间间隔内扫出相等的面积，即。 $\frac12\int r^2 d\theta\sim Lt$哪里 $l$是一个常数。
• 行星轨道时间周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比，即。 $T ^ 2 \ propto r ^ 3。$

在这里，我们列出了轨道力学的基本假设:

• 像太阳一样，有质量 $M_ \ odot$，与太阳系中的任何其他物体相比都非常大，它的运动基本上不受行星引力的影响。
• 太阳的引力沿着太阳和给定行星之间的线作用( $F$徒一起 $\hat{r}$)．因此，行星的运动被限制在一个二维平面内。
• 我们假设与空间尘埃的碰撞和其他能量耗散方式是可以忽略不计的，因此机械能 $E$是一个守恒量。

描述行星运动的中心微分方程可以写成

$m \ ddot vec {r}} {\ = - G \压裂{M_ \ textrm{太阳}m} {r ^ 2} {r} \的帽子。$

这是一个二维向量方程。左手边描述了物体的运动学，其相对于太阳的位置由 $vec {r} \$，右手边描述重力，它依赖于分离 $vec {r} \$只有通过其大小的平方。

尽管这个问题可以在极坐标系中以简单的方式解决，半径为单位向量 $\hat{r}$，以及太阳的角度， ${\ \帽子θ}$，它要求我们跟踪一些微妙的无穷小量。为了避免这种不必要的复杂性，我们转换到笛卡尔坐标来计算我们的导数。

首先，部分地重新表达问题 $\左(x, y \右)$坐标系统。请注意, $\因为$和 $\罪$的角 $\θ$由 $r \压裂{x} {}$和 $\分形{y}{r}，$分别。我们在形式中重铸了中心方程

$\{对齐}开始m \ ddot {x} & = - g \压裂{M_ \ textrm{太阳}m} {r ^ 2} \ cosθ\ \ \ m \ ddot {y} & = - g \压裂{M_ \ textrm{太阳}m} {r ^ 2} \罪\θ。结束\{对齐}$

我们需要求它的二阶导数 $x$和 $y$用极坐标表示的坐标。

为 $x$,我们有

$\开始{aligned}\dot{x}&=\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta\\\ddot{x}&=\ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{theta}\sin theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta-r\ddot{\theta}\sin theta\结束{对齐}$

为 $y$,我们有

$(1) . (2) . (2) . (3) . (3) . (3) . (3) . (4) . (4) . (4) . (4) . (4) . (4) . (4) . (4) . (4) .) . (4) . (5) . (5) . (5) .)结束\{对齐}$

现在我们用两种不同的方法得到极坐标下的轨道方程。

首先,我们乘 $\ ddot {x}$通过 $\cos\theta$, $\ ddot {y}$通过 $\sin\theta$，并添加它们。

从中心方程，我们有

$\ ddot {x} \ cosθ+ \ \ ddot {y} \罪\θ= -GM_ \ textrm{太阳}\离开(罪\ cos ^ 2 \θ+ \ ^ 2θ\ \)\压裂{1}{r ^ 2} = -GM_ \ textrm{太阳}\压裂{1}{r ^ 2}。$

从笛卡尔坐标和极坐标之间的导数恒等式，我们得到

${对齐}\ \开始ddot {x} \ cosθ+ \ \ ddot {y} \罪\θ= & \ ddot {r} \ cos ^ 2 \θ2 \点{r} \点{\θ}\ cosθ\ \罪\θ- r \点{\θ}^ 2 \ cos ^ 2 \θ- r \ ddot{\θ}\ cosθ\ \罪\θ\ \ & + \ ddot {r} \罪^ 2θ+ 2 \ \点{r} \点{\θ}\ sinθ\ \因为\θ- r \点{\θ}^ 2 \罪^ 2 \θ+ r \ ddot{\θ}\ sinθ\ \因为\θ。结束\{对齐}$

我们看到每一项都有a $θ\罪\ \因为\θ$消去，剩下

$\ddot{x}\cos\theta+\ddot{y}\sin\theta=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2。$

利用中心方程的结果，我们得到

$\装箱的{\left（\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\right）=-GM\textrm{Sun}\frac{1}{r^2}。$

我们注意到如果我们坚持 $r$是恒定的, $r \ ddot {}$是0，那么这就是圆形轨道的方程。允许 $r$“变化”将我们的问题扩展到更一般的轨道，如椭圆和双曲线。

如果我们用乘法 $\ ddot {x}$通过 $\sin\theta$， $\ ddot {y}$通过 $\cos\theta$，把方程相减，就得到

$R \ddot{\theta} + 2\dot{R}\dot{\theta} = 0。$

如果我们把这个方程乘以 $r$，我们发现 $r ^ 2 \ ddot{\θ}+ 2 r \点{r} \点{}\θ= 0$．然而，这只是时间导数 $r ^ 2 \点{\θ}$，我们已经证明了这一点

$d \压裂{}{dt} r ^ 2 \点{}\θ= 0。$

但 $mr ^ 2 \点{\θ}$是行星的角动量。因此，行星的角动量是守恒的。

这个结果有些平淡无奇。首先，引力沿着太阳和行星之间的位移矢量作用，因此系统上没有力矩，角动量必须守恒。在更深层次上，如果我们写下系统的哈密顿量，我们会发现它与 $\θ$，因此与之相关的动量 $\θ$一定是运动的常数。

如果我们把这个方程与时间积分，我们会发现 $mr ^ 2 \点{\θ}= L,$在哪里 $l$是一个常数。再对时间积分，我们发现

$\开始{aligned}\int L dt&=m\int r^2\frac{d\theta}{dt\\\&=m\int{\theta\u i}{r^2 d\theta\结束{对齐}$

积分 $\分形12\int r^2 d\theta$是从太阳到行星的径向矢量从太阳到行星的移动所扫过的区域 $\西塔一世$来 $\θf$．然而，结果是独立的 $\西塔一世$和 $\θf$，但这只取决于 $t$因为角动量是恒定的。

因此，我们推导出了开普勒第二定律，即轨道在相同的时间间隔内扫出相同的区域:

$\装箱的{\displaystyle\frac12\int{\text{any path}}r^2 d\theta=\frac{Lt}{2m}。$

某颗行星在近日点的速度是 $v_p$在这个位置，太阳与行星的距离是 $r_p$. 使有联系 $\ {r_p, v_p \}$在远日点对应的量 $\ {r_a, v_a \}$．

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近日点角动量的大小为 $L_p = m_pr_pv_p$因为 $r_p$和 $v_p$是相互垂直的。同样的, $L_a=m_pr_av_a$. 利用角动量守恒定律，

$m_pr_pv_p = m_pr_av_a \ Rightarrow r_pv_p = r_av_a \ Rightarrow \ dfrac {v_p} {v_a} = \ dfrac {r_a} {r_p}。$

为了取得进展，我们需要解决我们的中心方程 $r$．我们有

${r} - r\dot{\theta}^2 = - gm \frac{1}{r^2}。$

如果我们做代换微分方程就很容易解了 $r \ rightarrow u ^ {1}$．我们有

$\开始{aligned}\frac{dr}{dt}&=-u^{-2}\frac{du}{dt}\\\&=-u^{-2}\frac{du}{d\theta}\frac{Lu^2}{m}\\\\&=-frac{L}{m}\frac{du d\theta}\结束{对齐}$

此外,我们有

${对齐}\ \开始压裂{d r ^ 2} {dt ^ 2} & = - \压裂{L} {m} \压裂{d} {dt} \压裂{du} {d \θ } \\ &= -\ 压裂{L} {m} \压裂{d \θ}{dt} \压裂{d}{θd \} \压裂{du} {d \θ } \\ &= -\ 左(\压裂{L} {m} \右)^ 2 u ^ 2 \压裂{d ^ 2 u} {dθ\ ^ 2}。结束\{对齐}$

有了这个恒等式，中心方程就变成

$- \离开(\压裂{L} {m} \右)^ 2 u ^ 2 \压裂{d ^ 2 u} {dθ\ ^ 2}- \离开(\压裂{L} {m} \右)^ 2 u ^ 3 =乔治·梅森大学^ 2,$

这就变成了

$- frac{d^2u}{d\theta^2} + frac{GMm^2}{L^2} = u，$

哪个有简单的解决方案 $u = A\cos\left(\theta + \delta\right) + \frac{GMm^2}{L^2}$．

我们总是可以定义坐标 $\δ= 0$，因此我们在讨论的剩余部分将其设置为零。

依据 $r(\θ)$,我们有

$\开始{aligned}r&=\frac{1}{A\cos\theta+\frac{GMm^2}{L^2}\\\&=\frac{1}{\frac{GMm^2}{L^2}\左（e\cos\theta+1\右）}\结束{对齐}$

注意，在上面的行中，我们做了有用的替换 $e\Rightarrow\dfrac{AL^2}{GMm^2}$．

从这种形式 $r$，很明显，远日点和近日点（分别与太阳距离最远和最近的点）由

$r_ \文本{马克斯}= \ dfrac {1} {\ dfrac {GMm ^ 2} {L ^ 2} \离开(1 - e \右)},{分钟}\四r_ \文本= \ dfrac {1} {\ dfrac {GMm ^ 2} {L ^ 2} \离开(1 + e \右)}。$

半长轴由下式给出：

$\盒装{= \ dfrac12 \离开文本(r_ \{分钟}+ r_ \文本{马克斯}\右)= \ dfrac {L ^ 2} {GMm ^ 2} \离开(单电子^ 2 \右)^{1}}。$

我们看到轨道是由一个椭圆给出的，开普勒从布拉赫的数据集中发现了这个椭圆。此外,由于 $r\u\text{min}$和 $r_ \文本{马克斯}$是距离太阳的距离，我们看到太阳在轨道的一个焦点上。因此，我们导出了开普勒第一定律。

$r\sim\left（1+e\cos\theta\right）^{-1}$是极坐标下椭圆的一般形式，原点位于一个焦点上。在椭圆的研究中，参数 $e$通常被称为怪癖。当行星轨道的偏心率为零时，轨道就是正圆的。作为 $e$接近1时，轨道被拉伸成更细长的椭圆轨迹。为了演示这一特性，我们绘制了下面几个离心率值的轨道， $e$．

$\text{增大偏心距的轨道图}，e$

如果 $e \组1$？

在表达式中 $r^2d\theta = Lt/m$我们沿着一条完整的太阳轨道运行， $t=t$径向矢量扫过的面积就是椭圆轨道的面积， $= 2 \πab$．在这里 $一个$和 $b$是椭圆轨道的半长轴和半短轴。

从for的表达式中 $一个$从上面我们可以看到角动量的平方等于椭圆轨道的半长轴乘以一些常数， $L ^ 2 \ propto$. 这是我们获得第三定律所需要的关键信息。

把两边平方 $\displaystyle\int_\text{path} r^2\theta = LT/m = 2\pi ab$,我们有 $L ^ 2 t ^ 2 \ propto a ^ 2 ^ 2$．现在, $一个$和 $b$因为它们都是固定椭圆轨道的线性尺寸，所以它们是成比例的，所以我们有 $L^2T^2\n属于^4$．

最后，我们证明了这一点 $L ^ 2 \ propto$，所以我们有 $T^2\n属于^3$这就是开普勒第三定律。

如果我们在上面的分析中做更仔细的记录，我们可以得到的因子 $\dfrac{4\pi^{2}{GM}$，以获得第三定律的确切说明：

$\盒装{\ displaystyle T ^ 2 = \压裂{4 \π^{2}}{通用}^ 3}。$

注意，这个定律适用于所有椭圆轨道，不管它们的偏心度如何。