根函数积分

我们将学习用不同的方法来积分一些基本函数 $u$替换技巧。这些积分通常需要做三角替换或 $u$-替换使它们变成更简单的形式。

技巧:这种形式的积分 $\frac{f'(x)} {f(x)}$
我们已经在2a型和3b型中看到了这样的例子。 $$

技巧:积分涉及 $\ sqrt {x + ^ 2}$

评估 $\displaystyle \int \frac{dx}{x \sq {x+1}}$．

---

让 $X + 1 = u^2$和 $X = u^2 - 1。$然后自 $Dx = 2u, du，$我们有

$int \ \压裂{dx} {x \ sqrt {x + 1}} = \ int \压裂{2 u \, du} {(u ^ 2 - 1) \乘以u} = \ int \压裂{2 \,du} {u ^ 2 - 1}。$

然后用部分分式分解积分，得到

$\开始{对齐}\ int \压裂{2 \,du} {u ^ 2 - 1} & = \ int \压裂{du} {u-1} - \ int \压裂{du} {u + 1} \ \ & = \ ln \左| u-1 \右| - \ ln \左| u + 1 \ | + C \ \ & = \ ln左| \ \ dfrac {\ sqrt {x + 1} 1}{大概{x + 1} + 1} \ \ | + C, \ qquad \文本自}{u = \√{x + 1}) \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

技巧:积分涉及 $(取向)^ 2 + c ^ 2$
我们已经在 ${x} {(x-b) ^2 + c^2 ^2 + c^2 ^2) ^n}\， dx$．

评估 ${√{x^2 + 2x + 5}} \， dx$．

技巧:这种形式的积分 ${f'} {sqrt{f}}，$它整合 $2 \根号{f} + C$

评估 $int \ displaystyle \ \压裂{x ^ 4 \, dx} {\ sqrt {x ^ 5 + 5}}。$

---

乘以除以5，积分就变成

${5+x^5}}。$

注意积分的形式 ${f'} {sqrt{f}}，$积分解为

$2 \压裂{\ sqrt {x ^ 5 + 5}} {5} + C,$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$