在这种情况下
n=2,火腿三明治定理指出,给定平面上两个不相交的区域,有一条线同时将这两个区域分割成两块面积相等的区域。这种特殊情况被称为煎饼定理因为飞机的某些区域看起来有点像煎饼。
有一条线同时平分两个蓝色煎饼。
让
K1,K2⊂R2是煎饼,和
K1∩K2=∅.存在一条同时将两者分割的线
K1而且
K2分成等面积的小块。
薄饼定理可以用中间值定理:
平面上的每个方向
R2有一个对应的单位向量,可以认为是圆上的一点
年代1={(x,y)∈R2:x2+y2=1}.对于每个方向
米=(因为(θ),罪(θ))∈年代1,有一条独特的线
ℓ(米)与边坡
棕褐色(θ)这划分了区域
K1分成两块面积相等的。
此外,这条线
ℓ(米)分
R2分为两个区域,我们任意地表示为积极的一面
P(米)和消极的一面
N(米).定义一个函数
f:年代1→R通过
f(米):=区域(K2∩P(米)).也就是说,
f(米)等于的部分的面积
K2正面的位于…正面的
ℓ(米).自
f是连续函数,我们可以应用
1维空间Borsuk-Ulam定理.这意味着存在一些
n∈年代1这样
f(n)=f(−n).
请注意,
f(−n)正是
区域(K2∩N(n)),自积极的一面
ℓ(−n)恰恰是消极的一面
ℓ(n).因此,
区域(K2∩P(n))=区域(K2∩N(n)).这意味着
ℓ(n)平分
K2.但是我们构建了
ℓ这
ℓ(米)平分
K1对所有
米∈年代1.因此,直线
ℓ(n)同时平分
K1而且
K2!
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火腿三明治定理的证明
n>2本质上是相同的,但需要一个高维的Borsuk-Ulam定理的类比。不幸的是,中间值定理不足以证明这些高维类似物;一个人需要使用机器代数拓扑.
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让
K1表示的区域
R2以方程椭圆为界
9(x−9)2+16(y−9)2=1,,让
K2用方程表示以椭圆为界的区域
16(x+1)2+9(y+3.)2=1.有一条独特的线
ℓ同时等分
K1而且
K2分成两块面积相等的。
什么是
y拦截的
ℓ?
是否存在一条线将这5个圆分成面积和周长相等的两部分?
如果没有,为什么?
如果是,你能找到那条线吗?