大厅的婚姻定理
大厅的婚姻定理是导致的组合学这指定何时可以从重叠有限集的集合中选择不同的元素。它相当于组合学中的几个美丽定理，包括Dilworth的定理。该名称来自匹配的申请：给定相同数量的新娘和新郎之间的潜在匹配列表，在列表中为每个人结婚的列表提供了必要和充分的条件。
假设我有 礼物（标记为 ）给圣诞节给予 朋友（Alice，Bob，Charles，Dot，Edward）。我可以向每个人分发一个礼物，以便每个人都得到他们想要的东西吗？
当然这取决于我朋友的偏好。如果他们都没有像任何礼物，那么我就有不幸的话。但即使他们都像一些礼物，我仍然无法令人满意地给他们。例如，如果他们都不喜欢礼物 要么 ，然后我只会有 礼物给我的 朋友们。或假设
爱丽丝想要：1,3
鲍勃想要：2,4,5,6
查尔斯想要：2,3
DOT WAINE：1,2,3
爱德华想要：2
仍然没有办法分发礼物让每个人都开心。事实上，请注意，我有四个朋友（Alice，Charles，Dot，Edward），他只想要前三个礼物之一，这使得问题是不可能的。
事实证明，这是只要解决问题的方法是不可能的。只要朋友的子集共同地喜欢较少的礼物，而不是在子集中的朋友，总会有一种方法可以让每个人都想要的东西。这是大厅婚姻定理的症结。
定理陈述
让 成为一个有限套装的家庭。这里 被允许是无限的，和元素 可以重复。一种横梁 为了 是一套 和自杀 这样 对全部 。
因此，横向包括一个元素的选择 在每个集合中 ;关键是即使集合重叠，所选择的元素必须是唯一的。什么时候 是有限的，横向 通常作为订购元组集合的元素 。
让 。然后 是一个横向的 ： 挑选 从第一套， 从第二套， 从第三组。请注意，如果我们试图挑选 从第一组和 从第二组中，没有选择来自第三组的元素，导致横向。
（大厅的婚姻定理）让 是有限的有限套装。假设为每个亚家族 套装 ，子集的数量 小于或等于这些子集中的元素总数： 然后 至少有一个横向。
笔记：
（1）定理中给出的条件对于存在横向的情况明确必要，因为任何横向必须包括 从集合中的不同元素 ，那些集合必须至少包含 元素。
（2）定理中给出的条件通常称为“婚姻状况”。所以大厅的婚姻定理说 如果overversal，如果才能满足婚姻状况。
申请婚姻
假设有 妇女和 男人，所有人都希望与异性的人结婚。旨在进一步假设女性每个人都有一个男人的名单，他们会乐于结婚，而且每个人都很乐意嫁给任何乐于嫁给他的女人，每个人只能有一个配偶。
在这种情况下，霍尔的婚姻定理说，男人和女人都可以在婚姻中配对，以便每个人都很开心，如果才能婚姻条件持有：如果在任何妇女中，那么可接受的人总数对于该组中的至少一个女性大于或等于本集团的规模。
同样，很明显这种情况是必要的。大厅的婚姻定理是它也是如此。要了解在这种情况下定理适用的原因，让 成为一群男人 女人很乐意结婚;然后前一段中的婚姻状况与集合家庭的婚姻状况相同 。所以有一个横向 ，这是每个女人的可接受男人的选择。
二分层图
霍尔的婚姻定理可以重述图论理论语境。
一种二角形图形是一个图，顶点可以分成两个子集 和 这是图中的所有边缘连接到顶点 目的是 。（所以没有一个顶点 或者 彼此相连。）
一种匹配在图表上是没有公共顶点的边缘的选择。它盖子一套 如果每个顶点都有顶点 是匹配中的一个边的一个端点。
匹配对应于邻接矩阵中的1S的选择，每行和每列中最多1个。
假设双标图有零件 和 。霍尔的婚姻定理说，有一个套件覆盖 如果，只有，对于每个子集 的 ，具有端点图中图中的边的数量 是 。
其他应用程序
洗牌一块卡片和交易 每堆四张牌。表明，总有一种方法可以以这样的方式从每个桩中选择一张卡 选择的卡片包含每个等级的一张卡（一个王牌，一个王等）
考虑一下套装 由桩中卡的排名组成 。一个亚家族包括 子集，包含排名 牌。由于每个等级只有四张牌，因此必须至少有 独特的队伍。所以婚姻状况满意，所以大厅婚姻定理有一个横向。这种横向是问题所要求的。
（Putnam 2012 B3）一场循环锦标赛 团队持续了 天，如下。每一天，每个团队都对另一个团队发挥了一场比赛，一个团队赢得了一支球队，一支球队在每个人中失去了一支球队 游戏。在锦标赛的过程中，每个团队一次曾经一次曾经一次。人们可以从每天选择一个获胜团队，而不多次选择任何团队？
答案是肯定的。在这一点 天，让 是一群胜利的团队。每套 拥有 元素。为了表明存在横向存在，我们必须表明婚姻状况持有。
假设它没有 - 所以有 套 谁的工会包含少于 元素;也就是说，假设有 少于的天数 团队至少赢了一次。在这种情况下，至少有一个在每一个丢失的团队 圆形。但是 它迷失的团队将至少赢得一次 - 矛盾。
因此，横向存在，横向只是根据需要从每一天的独特获奖团队的选择。
本页提供其他示例：大厅婚姻定理的应用。
定理证明
这是一个使用证据Dilworth的定理。认为 。说一下 是 。假设集合的联盟 包括元素 。现在定义部分顺序 经过 如果并且只有 。（和：没有两个 是可比的，没有两个 是可比的。）
婚姻状况意味着这套中最大的抗恙是 。这是因为如果有一个较大的antiChain '沙 那些 只会含有 不在antiChain中，其中有 ，这将违反婚姻状况。
然后由Dilworth的定理，有一个封面 链条。每个 在盖子中恰好是一个链条，盖子中的链条要么 要么 。从一体而下 必须出现在链盖上，元素 与...一起出现 形成横向。