现在我们知道如何求有限项的和,让我们继续求几何级数的无穷项的和。这是用类似的方式完成的,我们先做一个例子。
计算以下几何级数:
5+3.5+95+275+⋯.
设给定的和为
年代,然后
年代=5+3.5+95+275+⋯.(1)
乘
年代通过
3.1,我们得到
3.1年代=3.5+95+275+815+⋯.(2)
采取
(1)−(2)给了
年代3.1年代年代(1−3.1)年代⋅3.2年代=5+3.5=0+3.5=5+0=5=215.□+95+95+0+275+275+0+⋯+815+0+⋯+⋯
请注意,我们使用的是相同的技巧,即乘以公比再减去!事实上,这个技巧可以用来找到等比级数的无穷项之和的一般公式。开始吧:
对于带有初始项的几何级数
一个公比
r令人满意的
∣r∣<1,等比级数的无穷项之和是
年代∞=1−r一个.
当
−1<r<1,因为
n变得任意大,
rn趋于0。因此,采取<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/limits-of-sequences/" class="wiki_link" title="数列极限" target="_blank">数列极限,我们得到
年代∞=n→∞lim年代n=n→∞lim1−r一个(1−rn)=1−r一个.□
几何证明:
我们也可以从视觉上考虑这个公式。如果
年代级数和初始项的和是
一个,我们可以构造一个正方形和一个三角形,如下所示:
我们可以看到正方形左边的大三角形和倒三角是相似的。因此,相似的是,
一个年代=一个−一个r一个.
解
年代,我们得到
年代=1−r一个.□
在击中地面后,你的网球反弹到它下落高度的三分之二。当它从的高度落下时,它在静止之前所走的垂直距离是多少
100米?
让
h是球下落的高度(以米为单位),和
e一个这样的数字
0<e<1.同时,让
年代是球静止之前所走过的垂直距离。然后
年代=h+2(eh)+2(e2h)+2(e3.h)+2(e4h)+⋯=h+2eh(1+e+e2+e3.+⋯)=h+2eh×1−e1(自e<1)=(1−e1+e)h.
因为我们已知
h=100而且
e=3.2,
年代=(1−3.21+3.2)100=500(m).□
求几何级数的和
5−3.10+920−2740+⋯.
观察给定的级数是一个具有初始项的几何级数
一个=5公比
r=3.−2.然后自
−1<r<0,级数是收敛的,我们将使用无穷和的公式
年代=1−r一个求给定级数的值。因此
年代=1−(3.−2)5=3..□
现在我们已经熟悉了上面的概念,让我们试着解决下面的一些问题:
71
61
51
41
23.1+261+291+⋯=?
如果一个等比级数的前三项是
2
+1,1,2
−1,求它所有项的和到无穷。
如果答案是
d一个+bc
对于正整数
一个,b,c,而且
d与
c的最小值
一个+b+c+d.