费米估计gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba费米估计gydF4y2Ba是使用粗略的计算和粗略的概括来估计需要大量分析或实验才能准确确定的值。gydF4y2Ba
物理学以其对诸如电子磁矩、太阳引力引起的光偏转或行星绕太阳运行的轨道等棘手问题做出极其精确预测的能力而闻名。然而,准确性往往以计算的巨大困难为代价。gydF4y2Ba
例如,计算玻色-爱因斯坦凝聚形成时的温度,即使是一个很差的估计,大多数人也需要大约15年的准备时间,而如果没有处理复杂数值计算的复杂软件系统的帮助,对商用喷气式飞机的飞行进行精确计算是完全不可能的。如果需要一个漂亮的、赏心悦目的分析结果,很多物理学就不会发生了。事实上,形式计算的诱惑可能是一个严重的障碍。每当数学无法控制时,放松要求并接受一种虽然不精确,但提供了向前发展的希望的方法通常是一个好主意。gydF4y2Ba
内容gydF4y2Ba
Fermation的子问题gydF4y2Ba
如果把阿富汗和伊拉克战争的成本计入美国纳税人的汽油价格,那么每加仑实际的战争税是多少?按人均能源计算,太阳能和风能哪个更有效?在美国有多少坏掉的iPhone屏幕修理工?这些问题可能都是完全令人困惑的,至少如果试图一步到位地猜出答案的话。谁对这些数字有直觉?它们在正常经验之外有几个原因。在战争税问题的背景下gydF4y2Ba
- 其中一些数字大得令人难以置信,而人类对大数字的判断能力很差。gydF4y2Ba
- 有些因素是完全未知的,比如一个人每年开车的英里数,战争的黑预算(秘密行动)的规模,或者在没有美国外交政策的情况下欧佩克的稳定性,这些都可能是找到准确答案的重要因素。gydF4y2Ba
然而,这些问题可以通过将大问题分解成适当的子问题来解决。gydF4y2Ba
一个典型的MLB球队每个赛季的收入是多少?gydF4y2Ba
主要问题是一个相当艰巨的任务,但可以做出一些合理的假设。gydF4y2Ba
球队收入的主要来源之一一定是gydF4y2Ba门票销售gydF4y2Ba或者他们只是在一个地方举行比赛,然后把比赛过程转播到各自的城市。所以,假设票房收入弥补了gydF4y2Ba 一个典型的MLB球队的利润(如果结果是离谱的,这总是可以重新审视的)。gydF4y2Ba
一个球队每年能从门票销售中赚多少钱?gydF4y2Ba大多数MLB球场都有容纳gydF4y2Ba 球迷出席。假设在大多数日子里,体育场大约是gydF4y2Ba 因为他们的计划可能是为了让体育场在电视上看起来不会太空,但有足够的空间来容纳更多的球迷,如果有更高的兴趣。gydF4y2Ba
在一个规模相当大的市场上,一个球迷可以花20美元(根据洛杉矶天使队的个人估计)买到一个糟糕的球队座位。一个非常好的座位可能要花费2500美元。让我们假设分布是不对称的,大多数座位都还可以,所以平均票价略高于超级糟糕的座位gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
最后,每队进行比赛gydF4y2Ba 每年的比赛,平均每场比赛的利润与对方平分。因此,一个典型的MLB球队的年收入大约是gydF4y2Ba 百万。gydF4y2Ba
的gydF4y2Ba真正的答案是2.26亿美元gydF4y2Ba这意味着这个估计非常准确,当然比它应有的准确得多。gydF4y2Ba
在不了解任何MLB球队的实际收入的情况下,我们能够将大问题分解成几个更容易管理的子问题,并根据我们的常识进行推理:gydF4y2Ba
- 体育场容量gydF4y2Ba
- 典型的出勤率gydF4y2Ba
- 机票价格gydF4y2Ba
- 一个赛季的比赛次数gydF4y2Ba
- 对票价对收入贡献的合理猜测gydF4y2Ba
通过将所有五个子问题的答案相乘,我们得到了团队收益的一个非常好的近似值。gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba费米问题gydF4y2Ba是对任意数字的一种近似的、粗略的计算,它通过确定数字中常见的合适因素来实现。根据问题的难度,以及要达到常识所需的子问题的数量,通常可以希望正确到2或3倍的范围内,其他时候则可以在正确的数量级内。gydF4y2Ba
如果你是一名宇航员,距离你预定的星系间太空任务发射还有几个小时,你坐在靠近卡纳维拉尔角(Cape Canaveral)的大西洋岸边,最后一次欣赏美景。这项任务尤其艰巨;因为你们飞船的相对论速度,当你们返回时,地球将进入未来10亿年。gydF4y2Ba
在你最虚弱的时候,你沮丧得说不出话来,决定向大西洋撒尿。gydF4y2Ba
时间快进:10亿年gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
你回到地球,期待着英雄般的欢迎,但你却发现所有的人类都消失了。相反,地球是由一个和平的、能心灵感应的海豚家族掌管的,他们带走了最后一批人类在将自己的灵魂上传到奇点服务器时抛弃的大部分比特币。在一片幻灭的阴霾中,你弯下腰,用清爽的湖水灌满你的宇航员救生杯,希望能变得清澈一些。喝完这杯水,你会意识到,在这么遥远的未来,地球上所有的水都已经完全混合好了,从你开始执行任务的那一刻起。gydF4y2Ba
你刚刚大概消耗了多少亿年前的尿液分子?gydF4y2Ba
假设和细节gydF4y2Ba
- 你发布的gydF4y2Ba 大量的尿液流入大西洋gydF4y2Ba
- 把你的尿液近似为纯净水。gydF4y2Ba
在美国有多少iPhone屏幕修理工?gydF4y2Ba
这个问题的一个重要数字是iphone在美国的数量。我们可以通过两种方式得到这个数字。gydF4y2Ba
首先,从通常的经验来看,似乎每两个人中就有一个人拥有智能手机,而没有智能手机的人往往是非常年幼或非常年老的人。此外,我们经常听到Android手机主导着市场,所以让我们来估计一下Android的数字gydF4y2Ba 因此,iPhone的市场份额大约是gydF4y2Ba 与Windows、黑莓(Blackberry)和其他平台相比,它们在市场上的地位微不足道。这个收益率gydF4y2Ba iphone。gydF4y2Ba
另一种方法是想想你在街上看到的人,试着直接估计他们中有多少人有iPhone。这个数字在我看来是每五个人中就有一个,这就意味着gydF4y2Ba 上百万部iphone因此,在五千万到六千万之间的估计似乎是大致正确的。gydF4y2Ba
有多少是坏的?手机合同通常为两年,大多数人会进行升级,所以让我们假设一个典型的iPhone在更换之前会使用2.5年。那么,在手机的使用寿命中,有多少屏幕会被破解呢?我猜这个数字大概在20%左右。gydF4y2Ba
每个破裂的屏幕都不会被更换,否则我们就不会经常看到它们。让我们假设,如果裂缝发生在第一个gydF4y2Ba 在顾客拥有手机的时间里,他们会把手机修好,但在其他时间里,他们会等待一部新手机。这意味着在某一年,gydF4y2Ba 大部分iphone将需要更换屏幕,或者gydF4y2Ba iPhone的屏幕。gydF4y2Ba
它能支持多少个修理工?让我们假设每个iPhone屏幕需要平均的修理工gydF4y2Ba 修理iPhone屏幕的人平均每周要花一半的全职时间来修理iPhone屏幕(平均比全职和兼职工人多)。因此,我们预测会有足够多的坏iphone来支持大约gydF4y2Ba 在整个国家。gydF4y2Ba
这大约是苹果在这个国家的门店数量的10倍,所以看起来相当合理。gydF4y2Ba
猜测字符串的准确性gydF4y2Ba
就像我们在MLB收益问题中所看到的,将大问题分解成小问题能够有效地帮助我们解决评估问题。然而,这可能会带来麻烦。举个例子来说吧,对于iPhone,我们并不一定会更加熟悉我们必须通过分解问题去估算的数字。尽管iPhone屏幕破裂的数量比直接猜测屏幕修理工的数量更简单,但很少有人熟悉iPhone屏幕破裂的频率。我们希望这个数字能精确到2倍以内(我们猜测是20%,但很可能是10%或30%)。同样,我们也胡乱猜测了一下修理一部iPhone所需的时间。事实证明,所有iphone手机屏幕断裂的真实频率接近三分之一,平均修复时间接近半小时。因此,在其中一个数字中,我们的数字太低了gydF4y2Ba 在另一场比赛中,我们的分数高出了两倍,也就是说,总的来说,这两个因素使我们的分数相差无几gydF4y2Ba 我们的估计太高了。由于一连串的猜测,这些错误会成倍增加,使我们偏离正确答案。然而,我们不可能在一系列独特的子问题上有一致的偏见(过高或过低),因此,我们的错误将倾向于相互平衡,就像随机漫步一样。如果我们在某些数字上过高,我们可能在其他数字上过低。gydF4y2Ba
粗略地说,如果我们在估计任何数字时具有一致的不确定性,我们可以将我们的猜测建模为一个从具有特征方差的真实答案的高斯分布中抽取的随机数gydF4y2Ba .把我们的猜测分解成gydF4y2Ba 子问题意味着我们的方差变成gydF4y2Ba (随机变量的方差是加性的),因此标准差(方差的平方根)随着的平方根而增加gydF4y2Ba .这与随机游走的行为相同(其中平均位移随着gydF4y2Ba 随着时间的推移),这可能是意料之中的,因为我们希望对每个估计数字的猜测都略高或略低。因此,在可能的情况下,我们应该避免做出太多次猜测。gydF4y2Ba
另一方面,我们对子问题中的数字的熟悉程度很可能比我们对大问题的了解要好得多,所以在某种程度上,将大问题分解总是有意义的。在随机游走和精确的知识之间精确地建模是不可能的,所以知道什么时候停止寻找子问题是一个直觉问题和积累经验的问题,以做出这种精确的预测。gydF4y2Ba
占主导地位的一部分gydF4y2Ba
在良好的评估中,另一个关键的技巧是忽略一切,只考虑你认为问题中最重要的因素。例如,在棒球问题中,我们假设收入的主要来源是门票、电视和人们在体育场或其他地方购买的商品,而我们认为所有其他收入来源都可以忽略不计。同样地,如果我们估计一个人每天的能源预算,我们可以假设他们的电动牙刷所使用的能源与他们做饭、开车、取暖等所使用的能源相比,贡献微不足道。如果我们考虑上车行驶100英里所需的时间,我们可以忽略打开车门所需的时间,gydF4y2Ba等等gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这需要一些勇气来开始。要了解占主导地位的贡献并不总是很明显的,可能需要一些数字比较来了解它。然而,减少我们需要跟踪的变量数量总是会降低我们的数学问题的复杂性,并可以引导我们得到更准确的解决方案。例如,如果我们先在一个极端情况下解决一个问题,然后在另一个极端情况下,我们可能能够识别短时间和长时间行为,或低能量和高能行为,因此知道我们应该寻找什么,当我们采取全面的分析解决方案。处理占主导地位的部分会让我们得到基本正确的答案,也就是说,只与真实答案相差20%或30%,从而让我们对发生的事情有一个很好的了解。gydF4y2Ba
摇动一个结冰的水瓶要多长时间才能融化?gydF4y2Ba
要做出这一估计,我们必须确定一种加热冰的机制。为了简单起见,我们假设系统在0摄氏度。在这种假设下,如果一开始就没有冰融化,我们就无法融化冰,也就是说,如果我们来回摇晃一块固态冰,就不会有热量传递到冰中。gydF4y2Ba
为了取得进展,让我们给水瓶一个小体积的液态水,初始温度也是0摄氏度。假设一个水瓶有体积gydF4y2Ba 最初,一小部分水是液体,也就是。gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
当我们向一个方向加速瓶子时,瓶子里所有的物质都得到了动能。当我们减速迫使瓶子向另一个方向移动时,冰会通过液态水减速而液态水基本上会移到瓶子的后面。这就是热量进入系统的方式。在液态水中减速时,冰受到摩擦力,摩擦力转化为热量。因为冰和水的温度是0摄氏度,热量就会融化冰。gydF4y2Ba
在时间gydF4y2Ba 液体体积由gydF4y2Ba ,冻冰的体积为gydF4y2Ba (在这一步中,我们明确地忽略了冰和水的密度差)。如果我们把水瓶近似成一个圆柱体,冰减速通过的距离由液体体积除以截面积给出:gydF4y2Ba .让我们做一个粗略的近似,冰在推开水的时候不会失去任何速度,也就是说,我们手臂的加速力等于水对冰的摩擦力。因此,冰以这样的速度移动gydF4y2Ba 直到它碰到瓶子的末端。让我们假设一个有力的摇晃。人的手臂能把球(棒球、板球)掷向gydF4y2Ba ;我们取这个值的10%作为冰的持续稳态速度,gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
每摇晃一次,冰就会感受到阻力gydF4y2Ba 是什么穿透了距离gydF4y2Ba 因此,每摇一次,我们的瓶子就会获得热量gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
我们可以通过估计在水中减速所花的时间,把它转化为平均功率。这里我们有几种选择。我们可以建立一个简单的模型,在这个模型中,每个震动传播相同的距离gydF4y2Ba 以这样的速度来回摇晃gydF4y2Ba .我们还可以做一个稍微复杂一点的模型,在这个模型中,摇瓶器一旦感觉冰碰到瓶子就会改变方向。这更现实。首先我们将计算简单模型。gydF4y2Ba
不断震动的频率gydF4y2Ba
这里,我们知道震动时间是由gydF4y2Ba ,则平均功率为gydF4y2Ba
加热后有多少冰会融化gydF4y2Ba ?熔化的热由gydF4y2Ba 所以我们需要热量gydF4y2Ba 融化物质gydF4y2Ba 冰。对时间求导gydF4y2Ba ,或gydF4y2Ba
这就得到了解gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba .求解时间gydF4y2Ba 这时的分数gydF4y2Ba 我们发现冰已经融化(下文解释)gydF4y2Ba
当我们接近完全融化时,这个解是渐近的,所以我们必须使用一些合理的截止点,比如gydF4y2Ba ,即融化99%冰的时间。代入已知的冰的密度值,水的融化热,一些合理的值gydF4y2Ba (0.5米)gydF4y2Ba (一个典型水瓶的体积),我们得到gydF4y2Ba 约gydF4y2Ba 因为我们在粗略地摇晃gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ),这相当于来回抖动16万次。下面,我们将所需摇动的次数绘制为gydF4y2Ba (融化冰的初始分数)从0.1%到99%不等。gydF4y2Ba
我们的选择gydF4y2Ba 糟糕是因为开始时的震动应该有更高的频率(冰在液体中移动的距离较短),而结束时的震动应该有较低的频率(移动的距离较大)。因此,一开始,这个模型应该低估了交付的平均功率,随着时间的推移,它可能高估了它。gydF4y2Ba
按比例缩小的震动频率gydF4y2Ba
现在我们计算这个模型,当冰碰到瓶口时我们改变摇晃的方向。在这种情况下,到达终点所需的时间由gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
使用这个新的估计gydF4y2Ba ,我们发现平均幂在时间上是恒定的gydF4y2Ba
这产生了一个简单得多的结果,即。gydF4y2Ba ,因此gydF4y2Ba
代入数字,我们预测我们只需要gydF4y2Ba 2000秒,或30分钟。平均震动将持续gydF4y2Ba ,大约是40hz,所以我们需要gydF4y2Ba 80000摇。gydF4y2Ba
这些对融化一个冰冻水瓶的摇动次数的估计合理吗?我们应该期待这些模式何时发挥作用?在某些情况下,这个模型会严重失败吗?例如,对于初始未熔化体积较小的情况,它是否准确?gydF4y2Ba
挑战你自己gydF4y2Ba
把融化的冰从零摄氏度摇到沸腾需要多长时间?gydF4y2Ba
中东的战争gydF4y2Ba
通常,当被追问西方在阿拉伯半岛军事存在的原因时,政府官员会指出,西方在中东石油大国经济平衡与稳定中的“战略利益”,这意味着,如果不不断干预中东地区,石油市场将变得不稳定,西方将遭受经济损失。抛开对阿拉伯半岛采取不干涉外交政策的世界可能存在的风险或缺乏风险不谈,这就引出了一个问题:相对于西方的石油消费,我们在中东的军事存在到底花了多少钱?为了简单起见,我们将考虑美国。gydF4y2Ba
首先,我们估计美国每年消耗的汽油加仑数。让我们把汽车消耗的汽油大致估计为美国所有汽油消耗的一半。接下来,让我们估算一下普通美国人每年的驾驶里程数。从个人经验来看,把40英里作为美国人每天上下班的平均距离似乎是合理的。计数gydF4y2Ba 工作日(忽略节假日),这使得gydF4y2Ba
我们把它乘以gydF4y2Ba 这是为了打发时间和跑腿。这就引出了gydF4y2Ba 每年英里。假设gydF4y2Ba 这个国家有一半的人口是在积极的劳动力中,这使得gydF4y2Ba 人驾驶gydF4y2Ba 英里一年,或者gydF4y2Ba 每年行驶英里数。假设一个典型的汽油里程为gydF4y2Ba 英里/加仑,这让我们gydF4y2Ba 加仑/年,或者gydF4y2Ba 加起来就是每年加仑。gydF4y2Ba
在2001年至2007年期间,美国用于在波斯湾地区投送军力的军事预算比例平均约为gydF4y2Ba 每年,这意味着在这段时间内对汽油征收的无形税收大约相当于gydF4y2Ba
从表面上看,按照中东外交政策的流行理论,你可能会认为,在这一努力中,国内汽油价格会有所下降或保持稳定,但事实上,汽油价格大幅上涨。石油价格是供求关系、国际贸易和欧佩克反复无常的复杂相互作用的结果,但它也是该地区稳定的一个功能。毫无疑问,价格上涨的部分原因是由于持续的战争和反对战争的叛乱运动给该地区带来了大规模的不稳定。gydF4y2Ba
虽然战争和水泵之间的联系被缴税的幌子所掩盖,但常识计算可以让人们看清军事干预的真实成本和意义。gydF4y2Ba
假设你正从旧金山飞往纽约。这架飞机(空客320)载有189名乘客,6名机组人员每小时收入20美元。假设一个最小模型,其中飞行的唯一成本是支付机组人员的工资和燃料费用。此外,假设引擎所做的只是对抗阻力。如果每张机票的价格是300美元,航空燃油每升0.75美元,机组人员的工资是按他们工作的完整小时数计算的,那么你的机票价格占航空公司利润的百分比是多少?gydF4y2Ba
假设和细节gydF4y2Ba
- 空客有阻力系数gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba
- 空气的密度是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 飞机向高空飞去。gydF4y2Ba 从头到尾。gydF4y2Ba
- 从纽约到旧金山的距离是gydF4y2Ba
- 喷气发动机的能源效率是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 把空中客车近似成一个直径的圆柱体gydF4y2Ba
- 喷气燃料的能量密度是gydF4y2Ba
- 燃料的密度是gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
- 剧组每工作一小时,即如果他们工作,就会得到报酬gydF4y2Ba 他们是有报酬的gydF4y2Ba
风能和太阳能的规模gydF4y2Ba
风力发电gydF4y2Ba
一些环保人士青睐的一项技术是风力发电场。它的支持者指出,风能本身就是清洁和碳中和的,而风能是一种被我们抛弃在谈判桌上的资源。再考虑到我们目前对石油的依赖,风能似乎是十拿九稳。但它与与之竞争的可再生能源如太阳能相比如何呢?与太阳相比,它的内在局限性如何?gydF4y2Ba
为了对我们的能源预算有一个规模感,我们需要知道每人每天的能源使用。让我们把欧盟国家作为中间道路的能源使用人口。官方数据显示,欧盟公民的能源消耗量大约是每人每年4万千瓦时gydF4y2Ba 每人每天。单独估计这个数字是很有趣的,但我们会认为它是理所当然的,因为我们现在的问题。gydF4y2Ba
当我们想到风车的时候,最基本的情况是风的动能被收集用来旋转风车,风车用动能驱动发电机。在风的体积中所包含的动能gydF4y2Ba 和速度gydF4y2Ba 是由gydF4y2Ba .如果我们假设驱动螺旋桨的唯一风是与叶片对齐的圆柱形空气中的风,那么我们就gydF4y2Ba 每秒到达叶片的千瓦数。这样,一天之内,我们就有了gydF4y2Ba 千瓦时流过叶片。gydF4y2Ba
现在,欧盟的空气密度是gydF4y2Ba ,而欧盟的平均风速约为gydF4y2Ba .取叶片面积为gydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba 千瓦时来自风车。gydF4y2Ba
最后,风车并不是完全高效的,不仅仅是因为风离开叶片时还留下了动能。让我们宽容地假设,风车可以收集流经它们的50%的能量。gydF4y2Ba
由于风车是通过从空气中吸收能量来运转的,我们不能把一个风车直接放在另一个风车后面,否则很快就会出现一片死气沉沉的区域。因此,我们必须在我们的风车之间留出合理的空间。要估计这个距离有多远,可以看看一些野外风力发电场的照片。例如,在下图中,看起来风车之间的间距大约是叶片直径的6倍。gydF4y2Ba
因此,在密集的风车堆中,每个风车对应一个风车gydF4y2Ba .非常慷慨,占领了整个欧盟的土地(gydF4y2Ba ,这就给了我们gydF4y2Ba 每天千瓦时。代入实数,得到gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba 每人每天。更现实一点,我们可能只能放置风车gydF4y2Ba 当我们考虑到山脉,那些风不大的地方,人们不希望他们的土地被风车覆盖,等等。gydF4y2Ba
风车在白天往往是无用的,大多数欧盟风车的运行速度大约是gydF4y2Ba 能力。这就把我们带到了大约gydF4y2Ba 这大约是典型欧盟公民能源预算的10%。总的来说,这不是坏事,但也不是解决能源危机的办法。gydF4y2Ba
增加这一数字最简单的目标是建造更多的风车,但这可能需要到海上(更高的风速,更多的房地产),这意味着由于锈蚀、海水等原因会迅速恶化,因此更多的能源首先用于生产风车。因此,风能很可能会补充我们的整体能源预算。gydF4y2Ba
太阳能发电gydF4y2Ba
现在让我们考虑太阳能。这种计算比风能的计算要简单得多。在地球的距离处太阳辐射的强度约为gydF4y2Ba .把整个地球平均起来,加上有效横截面,这就变成了约gydF4y2Ba 地球上的平均土地面积gydF4y2Ba
考虑到从大气层顶部反弹回太空的能量(gydF4y2Ba ),以及从地球表面反弹回太空的数量(另一个gydF4y2Ba ),这使我们得到大约10%的太阳辐射,或gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
让我们再次把欧盟作为我们的试验田。最顶级的太阳能电池板可以达到的效率gydF4y2Ba 这意味着我们可以期待gydF4y2Ba .假设人口密度为gydF4y2Ba 这大概相当于gydF4y2Ba 每人每天。gydF4y2Ba
将可用土地调整到5%的面积,我们有gydF4y2Ba 这比欧盟公民每天的平均能源使用量还要多gydF4y2Ba