费马小定理
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数论
探索可整除性、模运算和无穷。
做出了贡献
费马小定理是初等数论中帮助计算整数幂的基本定理吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模gydF4y2Ba" target="_blank">模一个><一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-numbers/" class="wiki_link" title="质数gydF4y2Ba" target="_blank">质数一个>.这是……的特例<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉定理gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉定理一个>,在初等数论的应用中很重要,包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="素性测试gydF4y2Ba" target="_blank">素性测试一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rsa-encryption/" class="wiki_link" title="公开密匙加密gydF4y2Ba" target="_blank">公开密匙加密一个>.
gydF4y2Ba这个结果被称为费马“小定理”,以区别于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-last-theorem/" class="wiki_link" title="费马最后定理gydF4y2Ba" target="_blank">费马最后定理一个>.
(费马,1640)
gydF4y2Ba让
p 是质数
一个 是任何整数。然后
一个 p−一个总能被整除
p .
在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模运算gydF4y2Ba" target="_blank">模运算一个>符号,可以写成
一个 p≡一个米odp.
11是质数,所以
2 11−2=2046是整除
1 1费马小定理。
定理的证明
费马小定理可以从更一般的欧拉定理推导出来,但也有直接证明结果的使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/induction-introduction/" class="wiki_link" title="感应gydF4y2Ba" target="_blank">感应一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="群理论gydF4y2Ba" target="_blank">群理论一个>.
用欧拉定理证明:
让
ϕ 是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-totient-function/" class="wiki_link" title="欧拉totient函数gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉totient函数一个>.根据欧拉定理
一个 ϕ(n)≡1(米odn),每当
一个 和
n coprime。让
n 是一个'
p .然后
ϕ (p)=p−1,所以
一个 p−1≡1(米odp)对于任何
一个 coprime来
p .在这种情况下,两边乘以
一个 给了
一个 p≡一个(米odp)根据需要。
gydF4y2Ba另一方面,如果
一个 不是互质数吗
p ,然后
p ∣一个.在这个例子中,两者都有
一个 p和
一个 都是相等的,
0 (米odp),所以
一个 p≡一个(米odp)在这里。
□
用归纳法证明:
首先,我们将证明这个定理对所有正整数都成立
一个 通过归纳。的基本情况
( 当
一个 =1)显然是正确的:
1 p≡1(米odp).
对于归纳假设,假设
一个 p≡一个(米odp)对于某个整数
一个 .我们的目标就是要证明这一点
( 一个+1)p≡一个+1(米odp).
由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-theorem-n-choose-k/" class="wiki_link" title="二项式定理gydF4y2Ba" target="_blank">二项式定理一个>,
(一个+1)p=一个p+(1p)一个p−1+(2p)一个p−2+⋯+(p−1p)一个+1.
但
p ∣∣(kp)为
1 ≤k≤p−1,因为
p ∣∣p!但
p ∤k!和
p ∤(p−k)!.所以中项消去mod
p :
(一个+1)p≡一个p+1(米odp).
替换
一个 p≡一个(米odp)通过归纳假设给出
( 一个+1)p≡一个+1(米odp).
gydF4y2Ba所以这个结果对所有的积极因素都成立
一个 通过归纳。但每个整数都是同余的
p 变成一个正整数,所以结果对每个整数都成立。
□
证明使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/lagranges-theorem/" class="wiki_link" title="拉格朗日定理gydF4y2Ba" target="_blank">拉格朗日定理一个>:
假设
p ∤一个(如上所述,另一种情况是微不足道的)。的幂集
一个 组成的子群
( Z/p)∗.它的大小(或顺序)是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-an-element/" class="wiki_link" title="乘法指令gydF4y2Ba" target="_blank">乘法指令一个>的
一个 ;如果它是
x >0,子组由
x 元素
{ 1,一个,一个2,…,一个x−1}.通过拉格朗日定理,
x 划分的顺序
( Z/p)∗,这是
p −1.所以
x y=p−1对于一些整数
y .然后
一个 p−1≡一个xy≡(一个x)y≡1y≡1(米odp).□
最后这个证明实际上推广到了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉定理gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉定理一个>.
gydF4y2Ba最后的证明概述如下:
应用程序
如果
n ∈N和
g cd(n,3.5)=1,证明
n 12≡1(米od3.5).
通过费马小定理,
n 4≡1(米od5)和
n 6≡1(米od7).所以
n 12≡1(米od5)和
n 12≡1(米od7).这意味着
n 12≡1(米od3.5).
□
请参阅维基百科<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots/" class="wiki_link" title="原始的根gydF4y2Ba" target="_blank">原始的根一个>来概括这个论点。
剩下的是什么
5 119除以59?
通过费马小定理,
5 58≡1(米od59),所以
5 116≡1(米od59),所以
5 119≡53.≡7(米od59).
□
让
p >5是质数,并且
k 是任意正整数
< p.表示的小数展开
p k由
p −1循环小数位数。
通过费马小定理,
1 0p−1−1是整除
p ,说
p 一个=10p−1−1.所以
p k=10p−1−1k一个=k一个(10p−11+102(p−1)1+103.(p−1)1+⋯).
自
k 一个<p一个<10p−1,写
k 一个作为一个
( p−1)-数字(如有必要,在前面加0)。由上面的展开式可知
( p−1)-digit number将在小数展开中重复。
gydF4y2Ba例如,我们
k =2和
p =7.然后
一个 =7106−1=142857,所以
k 一个=285714.所以
7 2=999999285714=285714(1061+10121+10181+⋯)=0.285714+0.000000285714+0.000000000000285714+⋯=0.285714.□
质数检验和反命题
费马小定理提出了一个质数检验:给定
n ,随机选择一个小数字
一个 互质数是什么
n 和计算
一个 n−1(米odn).如果这不是
1 ,然后
n 是费马小定理合成的。如果它是
1 ,我们能否得出这样的结论
n 是质数吗?总的来说,答案是否定的。例如,
2 10≡1(米od11)和
2 5≡1(米od3.1)所以
2 10≡1(米od3.41),因此
2 3.40≡1(米od3.41).
如果
n 复合,但
一个 n−1≡1(米odn)对于一些
一个 coprime来
n ,然后
n 被称为pseudoprime基地
一个 .如果
n 是不是每个碱基的伪质数都是相对的质数,叫做a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/carmichael-numbers/" class="wiki_link" title="卡迈克尔数量gydF4y2Ba" target="_blank">卡迈克尔数量一个>.质数检验的任何迭代都不能区分卡迈克尔数和实际的质数。
gydF4y2Ba然而,这个想法的改进是由于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="米勒和拉宾gydF4y2Ba" target="_blank">米勒和拉宾一个>给出了一种有效的判别方法。看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="素性测试gydF4y2Ba" target="_blank">素性测试一个>在维基上详细讨论。
引用:费马小定理。Brilliant.org .检索从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little-theorem/">//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little-theorem/一个>
掌握这些概念
数论
探索可整除性、模运算和无穷。
费马小定理是初等数论中帮助计算整数幂的基本定理吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模gydF4y2Ba" target="_blank">模一个><一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-numbers/" class="wiki_link" title="质数gydF4y2Ba" target="_blank">质数一个>.这是……的特例<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉定理gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉定理一个>,在初等数论的应用中很重要,包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="素性测试gydF4y2Ba" target="_blank">素性测试一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rsa-encryption/" class="wiki_link" title="公开密匙加密gydF4y2Ba" target="_blank">公开密匙加密一个>.
gydF4y2Ba这个结果被称为费马“小定理”,以区别于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-last-theorem/" class="wiki_link" title="费马最后定理gydF4y2Ba" target="_blank">费马最后定理一个>.
(费马,1640)
gydF4y2Ba让
在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模运算gydF4y2Ba" target="_blank">模运算一个>符号,可以写成
11是质数,所以
2 11−2=2046是整除1 1费马小定理。
定理的证明
费马小定理可以从更一般的欧拉定理推导出来,但也有直接证明结果的使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/induction-introduction/" class="wiki_link" title="感应gydF4y2Ba" target="_blank">感应一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="群理论gydF4y2Ba" target="_blank">群理论一个>.
用欧拉定理证明:
让
gydF4y2Ba另一方面,如果
用归纳法证明:
首先,我们将证明这个定理对所有正整数都成立
一个 通过归纳。的基本情况( 当一个 =1)显然是正确的:1 p≡1(米odp).对于归纳假设,假设
一个 p≡一个(米odp)对于某个整数一个 .我们的目标就是要证明这一点( 一个+1)p≡一个+1(米odp).由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-theorem-n-choose-k/" class="wiki_link" title="二项式定理gydF4y2Ba" target="_blank">二项式定理一个>,
(一个+1)p=一个p+(1p)一个p−1+(2p)一个p−2+⋯+(p−1p)一个+1. 但
p ∣∣(kp)为1 ≤k≤p−1,因为p ∣∣p!但p ∤k!和p ∤(p−k)!.所以中项消去modp :(一个+1)p≡一个p+1(米odp).
替换
一个 p≡一个(米odp)通过归纳假设给出( 一个+1)p≡一个+1(米odp).gydF4y2Ba所以这个结果对所有的积极因素都成立
一个 通过归纳。但每个整数都是同余的p 变成一个正整数,所以结果对每个整数都成立。□
证明使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/lagranges-theorem/" class="wiki_link" title="拉格朗日定理gydF4y2Ba" target="_blank">拉格朗日定理一个>:
假设
p ∤一个(如上所述,另一种情况是微不足道的)。的幂集一个 组成的子群( Z/p)∗.它的大小(或顺序)是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-an-element/" class="wiki_link" title="乘法指令gydF4y2Ba" target="_blank">乘法指令一个>的一个 ;如果它是x >0,子组由x 元素{ 1,一个,一个2,…,一个x−1}.通过拉格朗日定理,x 划分的顺序( Z/p)∗,这是p −1.所以x y=p−1对于一些整数y .然后
一个 p−1≡一个xy≡(一个x)y≡1y≡1(米odp).□
最后这个证明实际上推广到了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉定理gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉定理一个>.
gydF4y2Ba最后的证明概述如下:
应用程序
如果
n ∈N和g cd(n,3.5)=1,证明n 12≡1(米od3.5).
通过费马小定理,
n 4≡1(米od5)和n 6≡1(米od7).所以n 12≡1(米od5)和n 12≡1(米od7).这意味着n 12≡1(米od3.5). □请参阅维基百科<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots/" class="wiki_link" title="原始的根gydF4y2Ba" target="_blank">原始的根一个>来概括这个论点。
剩下的是什么
5 119除以59?通过费马小定理,
5 58≡1(米od59),所以5 116≡1(米od59),所以5 119≡53.≡7(米od59). □
让
p >5是质数,并且k 是任意正整数< p.表示的小数展开p k由p −1循环小数位数。通过费马小定理,
1 0p−1−1是整除p ,说p 一个=10p−1−1.所以
p k=10p−1−1k一个=k一个(10p−11+102(p−1)1+103.(p−1)1+⋯).自
k 一个<p一个<10p−1,写k 一个作为一个( p−1)-数字(如有必要,在前面加0)。由上面的展开式可知( p−1)-digit number将在小数展开中重复。gydF4y2Ba例如,我们
k =2和p =7.然后一个 =7106−1=142857,所以k 一个=285714.所以
7 2=999999285714=285714(1061+10121+10181+⋯)=0.285714+0.000000285714+0.000000000000285714+⋯=0.285714.□
质数检验和反命题
费马小定理提出了一个质数检验:给定
如果
gydF4y2Ba然而,这个想法的改进是由于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="米勒和拉宾gydF4y2Ba" target="_blank">米勒和拉宾一个>给出了一种有效的判别方法。看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="素性测试gydF4y2Ba" target="_blank">素性测试一个>在维基上详细讨论。