因式多项式

多项式的因式分解是将多项式分解成两个或更多个多项式的产物的过程。例如， $f（x）=x^2+5x+6$可以分解成 $f（x）=（x + 3）（x + 2）。$

另一个例子：

因素 $x^2-x-6$.

---

我们有

$x ^ 2 - x - 6 =（x-3）（x + 2）。\ _ \ square$

注意 $x^2-x-6$也可以表示为 $1 \ cdot（x ^ 2 -x - 6）$. 因此，以下因素 $x^2-x-6$是 $1.$, $x^2-x-6$, $x-3$和 $x + 2$.

为了解决这样的问题，你需要理解素质分解.如果需要，请在继续之前查看此概念。我们将注意三种常见方式，其中可以考虑多项式：分组，替换和使用身份。

我们经常看到分组方法应用于4项多项式。我们的想法是将类似的术语配对在一起，这样我们就可以应用分配物业为了更好地分解它们。

因素 $x^3-3x^2-x+3$.

---

我们有

$\开始{aligned}x^3-3x^2-x+3&=x^2（x-3）-（x-3）\\&=（x^2-1）（x-3）\\&=（x-1）（x+1）（x-3）_\方形\结束{对齐}$

因素 $x ^ 2 + 4x - y ^ 2 - 4y$.

---

我们有

$\ begin {对齐} x ^ 2 + 4x - y ^ 2 - 4y＆=（x ^ 2 - y ^ 2）+（4x - 4y）\\＆=（x -y）（x + y）+ 4（x- 我)\\ &= (x - y)(x + y + 4). \ _\square \end{aligned}$

因素 $x ^ 2 - 16y ^ 2 - 6x + 9$.

---

我们有

$\开始{aligned}x^2-16y^2-6x+9&=（x^2-6x+9）-16y^2\\&=（x-3）^2-（4y）^2\\\&=（x-3-4y）（x-3+4y）_\方形\结束{对齐}$

如果一个多项式很复杂，你可以试着用一个更简单的项替换其中一个复杂的项，以使它更容易计算。

因素 $（x-y）（x-y-1）-20$.

---

让 $s$= $x-y$. 替代 $s$等待 $x-y$为了便于计算，我们得到

$\ begin {对齐}（x-y）（x - y-1） - 20＆=（s-1） - 20 \\＆= s ^ 2 - s - 20 \\＆=（s - 5）（s + 4）\\＆=（x - y-5）（x - y + 4）。\ _ \ square \结束{对齐}$

因素 $（x+y）（x+y+1）-12$.

---

让 $s$= $x+y$. 替代 $s$等待 $x+y$为了便于计算，我们得到

$\开始{aligned}（x+y）（x+y+1）-12&=（S）（S+1）-12\\&=S^2+S-12\\&=（S-3）（S+4）\\&=（x+y-3）（x+y+4）。\_\方形\结束{对齐}$

您可以查看更多示例在此方法应用此方法代换分解多项式页

形式的因式分解二项式 $x^2-y^2=（x-y）（x+y）：$
这种方法适用二方恒等式差.

因素 $x ^ 2 - 16$.

---

我们有

$x ^ 2 - 16 = x ^ 2 - 4 ^ 2 =（x-4）（x + 4）。\ _ \ square$

因素 $x^4-25y^4$.

---

我们有

$x^4-25y^4=\big（x^2\big）^2-\big（5y^2\big）^2=\big（x^2-5y^2\big）\big（x^2+5y^2\big）。\\uz$

因素 $9x^3y-36xy$.

---

我们有

$9x^3y-36xy=9xy\big（x^2-4\big）=9xy\big（x^2-2^2\big）=9xy（x-2）（x+2）。\\平方$

因素 $（x + 1）^ 2 - 9（x-2）^ 2$.

---

我们有

$\ begin {对齐}（x + 1）^ 2 - 9（x-2）^ 2＆=（x + 1）^ 2 - \ big（3（x-2）\ big）^ 2 \\＆= \big（（x + 1） - 3（x-​​2）\ big）\ big（（x + 1）+ 3（x-​​2）\ big）\\＆=（x + 1 -3x + 6）（x+ 1 + 3x - 6）\\＆=（-2x + 7）（4x - 5）。\ _ \ square \结束{对齐}$

形式的因式分解二项式 $x ^ 3 + y ^ 3 =（x + y）\ big（x ^ 2 - xy + y ^ 2 \ big）$和 $x^3-y^3=（x-y）\big（x^2+xy+y^2\big）：$
这种方法适用立方体恒等式的和与差.

因素 $27x^3-y^3$.

---

我们有

$\开始{aligned}27x^3-y^3&=（3x）^3-y^3\\&=（3x-y）大（（3x）^2+3xy+y^2\big）\\&=（3x-y）（9x^2+3xy+y^2）。\_\方形\结束{对齐}$

因素 $64x ^ 3 + 27Y ^ 3$.

---

我们有

$\开始{aligned}64x^3+27y^3&=（4x）^3+（3y）^3\\&=（4x+3y）大（（4x）^2-12xy+（3y）^2\big）\&=（4x+3y）大（16x^2-12xy+9y^2\big）_\方形\结束{对齐}$

三项式的因式分解 $x^2+2xy+y^2=（x+y）^2$和 $x^2-2xy+y^2=（x-y）^2:$

因素 $x^2+6x+9$.

---

我们有

$x^2+6x+3=x^2+2（x\cdot 3）+3^2=（x+3）^2.\_\广场$

因素 $x ^ 2 - 4x + 4$.

---

我们有

$x ^ 2 - 4x + 4 = x ^ 2 - 2（x \ cdot 2）+ 2 ^ 2 =（x-2）^ 2。\ _\正方形$

因素 $25x^2-20x+4$.

---

我们有

$25x^2-20x+4=（5x）^2-2（5x\cdot 2）+2^2=（5x-2）^2.\_\广场$

因素 $16x ^ 2 - 24xy + 9Y ^ 2$.

---

我们有

$16x^2-24xy+9y^2=（4x）^2-2（4x\cdot 3y）+（3y）^2=（4x-3y）^2.\_\广场$

三项式的因式分解 $x^2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）：$
这种方法也称为观察因子分解。

在我们没有完美的形式方形的情况下 $（x+y）^2$或者 $（x-y）^ 2$，但导频系数 $x$是1，我们可以试着找到 $A.$和 $B$以致 $a\cdot b$等于常数项，且 $a+b$等于的系数 $x$.

因素 $x^2+5x+6$.

---

我们有

$x^2+5x+6=x^2+（2+3）x+（2乘以3）=（x+2）（x+3）。\_\广场$

因素 $x^2-3x-4$.

---

我们有

$x^2-3x+4=x^2+（1-4）x+\big（1倍（-4）\big）=（x+1）（x-4）_\广场$

因素 $x ^ 2 - 12x + 35$.

---

我们有

$x^2-12x+35=x^2+（-5-7）x+\big（-5）\times（-7）\big）=（x-5）（x-7）_\广场$

因素 $2x ^ 2 + 4xy - 30y ^ 2$.

---

我们有

$\开始{aligned}2x^2+4xy-30y^2&=2\big（x^2+2xy-15y^2\big）\\&=2\big（x^2+（5y-3y）x+（5y）\times（-3y）\big）\\&=2（x+5y）（x-3y）_\方形\结束{对齐}$

三项式的因式分解 $acx^2+（ad+bc）x+bd=（ax+b）（cx+d）：$
当 $x$是不1，我们必须同时考虑超前系数和常数。

因素 $2x^2+4x+2$.

---

影响因素 $2x^2：$ $2x$和 $x$
影响因素 $2：$ $1.$和 $2.$

因为我们看到的是所有的正系数，所以我们可以忽略负面因素。

鉴于此，两个简单可能的候解层 $（2x+1）（x+2）$和 $（2x + 2）（x + 1）$.

在这两种分解中，前导项都是 $2x\cdot x=2x^2$常数项为 $1 \ CDOT 2 = 2$，所以我们不必担心他们。让我们注意得到正确的中期 $四倍$.

在因式分解中 $（2x+1）（x+2）$，中期将是 $（2x \ cdot 2）+（1 \ cdot x）= 5x$，这是不正确的。

在因式分解中 $（2x + 2）（x + 1）$，中期将是 $（2x \ cdot 1）+（2 \ cdot x）= 4x$，这就是我们想要的。因此，给我们正确扩张的分解是 $（2x + 2）（x + 1）$. $_\方格$

因素 $2xy ^ 5 - 11xy ^ 4 - 6xy ^ 3$.

---

我们可以算出 $xy^3$让我们的工作更简单：

$2xy^5-11xy^4-6xy^3=xy^3\big（2y^2-11y-6\big）。$

现在我们可以专注于保理 $2y^2-11y-6$.

影响因素 $2Y ^ 2：$ $2y$和 $Y$, $-2Y.$和 $- 我$
影响因素 $-6：$ $-2$和 $3.$, $2.$和 $-3$, $-1$和 $6.$, $1.$和 $-6$

我们可以尝试使用许多不同的组合进行因式分解。但有一点需要注意的是，由于中期 $-11岁$，我们需要使用可以让我们到数量的因素 $-11$: $2年\次（-6）$和 $y\次1$会给我们我们想要的中期术语。

既然我们想要 $2y$乘以 $-6$给我们一个中期， $-6$必须存在于不同一组括号中 $2y$这样它就可以被分配到 $2y$.

让我们检查一下因式分解 $（2y+1）（y-6）$.领先的术语是 $2y\cdot y=2y^2$，常数项为 $1 \ cdot -6 = -6$如预期的。中期是 $大（2Y \ CDOT（-6）\大）+ 1 \ CDOT Y = -11y$，我们想要的。

所以 $2y^2-11y-6$= $（2y+1）（y-6）$，这意味着我们的最终答案是

$2xy^5-11xy^4-6xy^3=xy^3\big（2y^2-11y-6\big）=xy^3（2y+1）（y-6）。\ \$

以这种方式为多项式进行分解涉及一定程度的猜测和检查。您可以通过使用您的号码感测到这个过程来大大提高您的速度，以弄清楚数字组合将成功地让您成为所需的中间术语。

既然您已经熟悉了分解多项式的不同方法，那么让我们来研究一些问题。