点积-点到直线的距离

的点到直线的距离，定义为固定点到直线上任意一点之间的最短距离。它是垂直于直线并经过该点的线段的长度。

的距离 $d$从一个角度来看 $({x}_{0}，{y}_{0})$到线上 $ax + by + c = 0$是 $d = \压裂{\ \ lvert了({x} _ {0}) + b ({y} _ {0}) + c \ \ rvert}{\√6{{一}^ {2}{+ b} ^{2}}}。$

从上图中让 $d$是到点的垂直距离 $Q({x}_{0}，{y}_{0})$到线上 $ax + by + c = 0。$我们还让 $vec {n} \$是一个垂直于从一点开始的直线的向量 $P({x}_{1}，{y}_{1})$．

我们可以从上图中看到距离 $d$是向量的正交投影吗 $vec {PQ} \$．因此，我们从三角学中得到:

$d=\左\| \vec {PQ} \右\| \cos\theta。$

现在，方程右边的分子和分母同时乘以法向量的模 $vec {n}: \$

$d = \压裂{\左右vec {PQ} \ \ | \ \ | \左右vec {n} \ \ | \ \ | \ cosθ\}{\左右vec {n} \ \ | \ \ |}。$

我们从定义中知道点积那 $\左\| \vec {PQ} \右\| \左\| \vec {n} \右\| \cos\theta$就是向量的点积 $vec {PQ} \$而法向量 $vec {n}: \$

${对齐}d = \ \开始压裂vec {PQ} {\ \ cdot \ vec {n}}{\左右vec {n} \ \ | \ \ |} vec {PQ} \ \ \ & = ({x} _ {0} - {x} _ {1}, {y} _ {0} - {y} _{1})。结束\{对齐}$

所以

$vec {PQ} \开始{对齐}\ \ cdot \ vec {n} & = ({x} _ {0} - {x} _ {1}, {y} _ {0} - {y} _ {1}) \ cdot (a, b) \ \ & = ({x} _ {0} - {x} _ {1}) + b ({y} _ {0} - {y} _{1})。结束\{对齐}$

我们还有 $\左右vec {n} \ \ | \ \ | = \√6{{一}^ {2}+ {b} ^ {2}},$因此

$d = \压裂{\左| ({x} _ {0} - {x} _ {1}) + b ({y} _ {0} - {y} _{1})正确\ |}{\√6{{一}^ {2}{+ b} ^{2}}} = \压裂{\左| ({x} _{0})——({x} _ {1}) + b {y} _ {0} - {b (y} _{1}) \ |}{\√6{{一}^ {2}{+ b} ^{2}}}。$

从直线方程中 $c =——(间的{1})- b (y_ {1}),$这意味着

$d = \压裂{\ \ lvert了({x} _ {0}) + b ({y} _ {0}) + c \ \ rvert}{\√6{{一}^ {2}{+ b} ^{2}}}。$

给定一条这样的直线 $ax + by + c$还有一点 $y_(间的{0},{0}),$垂直距离可由上式求出。

求直线之间的距离 $l = 2 - 4 x + y - 5$重点是 $Q = (2)$，

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由距离公式可知:

$d = \压裂{\ | 2(3)+ 4(2)5 \ |}{\√6{2 ^{2}{+ 4}^{2}}}= \压裂{3}{2 \√{5}}。$

求直线之间的距离 $l = 3 x + 4 y-6 = 0$重点是 $(0,0)$．

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如果点在原点，距离公式可以简化为:

$d = \压裂{\ |一个(0)+ b (0) + c \ |}{\√6{一个^ {2}{+ b} ^{2}}} = \压裂{\左| c \右|}{\√6{{一}^ {2}{+ b} ^{2}}}。$

所以我们有:

$d = \压裂{\左| 6 \右|}{\倍根号3 ^{{2}{+ 4}^{2}}}= \压裂{6}{5}。$