点积

的具体情况内积在欧氏空间,点积给出两个向量的大小与它们夹角的余弦的乘积。和外积一样，点积也是欧氏向量的基本运算之一。

让 $vec{一}\$而且 $vec {b} \$是欧氏向量，并且 $\θ$它们之间的角度。然后点积的 $vec{一}\$而且 $vec {b} \$来标示 $b \ cdot$和定义为

$vec {} \ \ cdot vec {b} = \ \左右vec{} \ \ | \ \ | \左右vec {b} \ \ | \ \ | \ cosθ{\},$

在哪里 $vec{一}| | \,$例如，表示级的 $vec{一}\$．

因为点积是对两个向量的运算，它返回一个标量值，所以点积也被称为数积．

几何上，我们也可以把点积解释为

$vec {} \ \ cdot vec {b} = \ \大(\左右vec{} \ \ | \ \ | \大)\大(\左右vec {b} \ \ | \ \ | \ cosθ}{\ \大)。$

也就是说，我们可以把点积看作 $vec{一}\$乘以的分量的大小 $vec {b} \$,点 $vec{一}\$． $\大(\左\|\vec{b}\右\|\ cos{\theta} \大)$是大小的投影的 $vec {b} \$到 $vec {}: \$

同样的,

$vec {} \ \ cdot vec {b} = \ \大vec {b}(左\ \ | \ \ \ | \大)、大(\左右vec {} \ \ | \ \ | \ cosθ}{\ \大),$

所以点积也可以看成是的大小 $vec {b} \$乘以的分量的大小 $vec{一}\$,点 $vec {b} \$．

自 $\左右vec {} \ \ | \ \ |$而且 $vec {b} \左\ | \ \ \ |$点积的符号取决于正数吗 $θ:\$

• 如果 $\ \θ$是急性,那么 $\ cosθ}{\$是正的，因此点积是正的。
• 如果 $\ \θ$是 $90 ^{\保监会}$，那么点积为零。点积消掉的向量称为正交．
• 如果 $\ \θ$是钝角，那么点积是负的。

注意，由于欧几里得基单位向量 $帽子\ {x}$， $帽子\ {y}$, $帽子\ {z}$相互垂直，是这样吗

$帽子\帽子{x} \ cdot \ {y} = {y} \ \帽子帽子cdot \ {z} = {x} \ \帽子帽子cdot \ {z} = 0$

这

$帽子\帽子{x} \ cdot \ {x} = {y} \ \帽子帽子cdot \帽子{y} = \ {z} \ cdot \帽子{z} = 1。$

考虑到 $vec{一}\$是 $7$和 $vec {b} \$是 $8$,找 $vec {} \ \ cdot vec {b} \$当夹角 $vec{一}\$而且 $vec {b} \$是 $$ ${数组}{c} & \ \开始文本{(i)} ~ 60 ^ \保监会&&& \文本{(ii)} ~ 90 ^ \保监会&&& \文本{(iii)} ~ 120 ^ \保监会。结束\{数组}$

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为了求点积，我们用这个公式 $vec {} \ \ cdot vec {b} = \ \左右vec{} \ \ | \ \ | \左右vec {b} \ \ | \ \ | \因为\θ$．

我们知道 $\左右vec {} \ \ | \ \ | = 7$而且 $vec {b} \左\ | \ \ \ | = 8,$这意味着 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \ * 8 \cos\theta = 56 \cos\theta。$因此有以下答案:

(我) $\θ= 60 ^ \保监会$， $\cos \theta = \frac{1}{2}$因此 $vec {} \ \ cdot vec {b} = 56 \ \ * \压裂{1}{2}= 28。$
(2)当 $\θ= 90 ^ \保监会$， $\cos \theta = 0$因此 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 56 \ * 0 = 0。$
(3)当 $\θ= 120 ^ \保监会$， $\cos \theta = - \frac{1}{2}$因此 $vec {} \ \ cdot vec {b} = 56 \ \ * \离开(- \压裂{1}{2}\右)= - 28。$ $_ \广场$

如果 $\vec{c} = 4 \hat{\imath}$而且 $\vec{d} = 2 \hat{\imath}$是什么 $vec {vec {c} \ \ cdot \ d} ?$

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我们可以应用这个公式 $vec {c} \ \ vec {d} = cdot \ \左右vec {c} \ \ | \ \ | \左右vec {d} \ \ | \ \ | \因为\θ$．

我们知道 $vec {c} \左\ | \ \ \ | = 4$而且 $\左右vec {d} \ \ | \ \ | = 2$．另外，这两个向量是平行的，所以 $\θ= 0$因此 $\cos \theta = 1。$
代入公式中的值后，得到

$\vec{c} \cdot \vec{d} = 4 \ * 2 \ * 1 = 8。\ _ \广场$

点积有几个重要而有用的性质。它们的证明相当简单，留给读者作为练习。

$\begin{array} {c | c} \text{交换}& \vec{u} \cdot \vec{u} \\ \hline \text{Distributive} & \vec{u} \\ hline \text{u} & \vec{u} + \vec{w} \\ vec{u} + \vec{u} \cdot \hline \text{标量相乘}& (k_1 \vec{u}) \cdot (k_2 \vec{v}) \\ hline \text{正交}& \vec{u} \cdot \vec{v}) \\ hline \text{正交}& \vec{u} \cdot \vec{v}} \vec{v} \vec{v}} = 0 \\ \end{array}$

鉴于 $(5\vec{m}) \cdot (6 \vec{n}) = 34，$找到 $(8 \vec{m}) \cdot (15 \vec{n})$．

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上面的性质告诉我们 $vec {m}) (5 \ \ cdot vec {n}) (6 \ = 30 vec {m} \ \ cdot \ vec {n}$．我们被要求去寻找 $(8 \vec{m}) \cdot (15 \vec{n})$，相当于 $120 \vec{m} \cdot \vec{n}$．

自 $30 \vec{m} \cdot \vec{n} = 34$，可以得出 $120 \vec{m} \cdot \vec{n} = 4 \ * 30 \vec{m} \cdot \vec{n} = 4 \ * 34 =136。\ _ \广场$

在笛卡儿坐标中，点积有一种方便的形式。假设 $vec{一}\$而且 $vec {b} \$形成的角度 $\α$而且 $β\$，分别用 $x$设在。回想一下，笛卡尔坐标下的表示变成了

$\vec{a} = (x_a, y_a)$

而且

$\vec{b} = (x_b, y_b)，$

在哪里 $X_a = |\vec{a}| \cos{\alpha}$， $Y_a = |\vec{a}| \sin{\alpha}$， $X_b = |\vec{b}| \cos{\beta}$, $Y_b = |\vec{b}| \sin{\beta}$．

因此,

$vec{一}\开始{对齐}\ \ vec {b} & = cdot \ \左右vec{} \ \ | \ \ | \左右vec {b} \ \ | \ \ | \ cos(\β-α\)\ \ & = \左右vec{} \ \ | \ \ | \左右vec {b} \ \ | \ \ | (\ cosα}{\ \因为{\β}+ \罪罪{α\}\{\β }) \\ &= \ 左(\左右vec {} \ \ | \ \ | \ cosα}{\ \)\离开(\左右vec {b} \ \ | \ \ | \因为{β\}\右)+ \离开(\左右vec{} \ \ | \ \ | \罪{α\}\)\离开(\左右vec {b} \ \ | \ \ | \罪{β\}\)\ \ & = x_a x_b + y_a y_b。结束\{对齐}$

换句话说，笛卡尔坐标系中两个向量的乘积就是这两个向量的每个对应分量的乘积的和。这同样适用于二维以上的向量。

笛卡尔坐标下的点积:

假设 $\vec{a} = (a_1, a_2， \ldots, a_n)$而且 $\vec{b} = (b_1, b_2， \ldots, a_n)$．然后

$vec{一}\ \ cdot \ vec {b} = a₁b_1 + a₂b_2 + \ cdots + an b_n。\ _ \广场$

向量 $vec{你}\$， $vec {v} \$而且 $vec {v vec{你}- \ \}$形成一个三角形，其中 $\θ$是夹角 $vec{你}\$而且 $vec {v} \$．因此，我们可以对这个三角形应用余弦定理:

${对齐}\左\ | \ \开始vec vec {v}{你}- \ \右\ | ^{2}& = \左右vec{你}\ \ | \ \ | ^{2}+ \左右vec {v} \ \ | \ \ | ^{2} - 2 \左右vec{你}\ \ | \ \ | \左右vec {v} \ \ | \ \ | \ cosθ}{\ \ \ \ sum_ {i = 1} ^ {n} (u_{我}- v_{我})^ {2}& = \ sum_ {i = 1} ^ {n} u_{我}^ {2}+ \ sum_ {i = 1} ^ {n} v_{我}^{2}- 2 \左右vec{你}\ \ | \ \ | \左右vec {v} \ \ | \ \ | \ cosθ}{\ \ \ 2 \ sum_ {i = 1} ^ {n} u_{我}v_{我}& = 2 \左右vec{你}\ \ | \ \ | \左右vec {v} \ \ | \ \ | \ cosθ}{\ \ \ u ^ {T} v & =\左右vec{你}\ \ | \ \ | \左右vec {v} \ \ | \ \ | \ cosθ}{\ \{对齐}结束$

求出下列向量对夹角的余弦值:

一) $vec{一}\ = (3 0),vec {b} \ =(3、4)$
b) $vec{一}\ = 3 + 2 j, vec {b} \ = 5 i j$．

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一)我们有

$vec{一}\开始{对齐}\ \ cdot \ vec {b} & =(3)(3) +(0)(4) = 9 \ \ \左右vec{} \ \ | \ \ | & = \√6{{3}^{2}+{0}^{2}}= 3 \ \ \左右vec {b} \ \ | \ \ | & = \√6 {{3}^ {2}+ {4}^ {2}}= 5 \ \ \ Rightarrow \ cosθ& = \ \压裂vec{一}{\ \ cdot \ vec {b}}{\左右\ |一个\ \ | \ \ | b \左右\ |}\ qquad文本(\{定义的点积})\ \ & = \压裂{9}{15}\ \ \ \ \ Rightarrow \θ& \大约{53.13}^{\保监会}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

b)我们有

$vec{一}\开始{对齐}\ \ cdot \ vec {b} & = (3 + 2 j) \ cdot (5 i j) \ \ & = 3(5) + 2(1) \ \ & =一连\ \ & = 13 \ \ \ \ \左右vec {} \ \ | \ \ | & = \ sqrt {{3} ^ {2} + {2} ^ {2 } } \\ &=\ √6{13}\ \ \ \ \左右vec {b} \ \ | \ \ | & = \ sqrt {{5} ^ {1} {2} + ^ {2 } } \\ &=\ √6 {26}\ \ \ \ \ Rightarrow \ cosθ& = \ \压裂vec{一}{\ \ cdot \ vec {b}}{\左右\ |一个\ \ | \ \ | b \左右\ |}\ qquad文本(\{定义的点积})\ \ & = \压裂{13}{\ sqrt{13} \√6 {26 } }\\ &=\ 压裂{13}{13 \ sqrt {2}} \ \& = \压裂{\ sqrt {2}} {2 } \\ \\ \ Rightarrow \θ& ={45}^{\保监会}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

给定两个向量 $vec {v} \ = 4 + 3 j$而且 $vec {\ w} = mi + 7 j$，对于什么价值 $米$它们之间的角度是多少 ${45}^{\circ}?$

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我们有

$vec {v} \开始{对齐}\ \ cdot \ vec {w} & = (4 + 3 j) \ cdot (mi + 7 j) \ \ & = (4) (m) + (3) (7) \ \ & = 4 m + 21 \ \ \ \ \左右vec {v} \ \ | \ \ | & = \ sqrt {{4} ^ {2} + {3} ^ {2 } } \\ &= 5 \ \ \ \ \左右vec {w} \ \ | \ \ | & = \ sqrt {{m} ^ {2} + {7} ^ {2 } } \\ &=\ 倍根号{米^{2}+ 49}。结束\{对齐}$

根据点乘的定义，我们有

$vec {v} \开始{对齐}\ \ cdot vec {w} & = \ \左右\ | v \ \ | \ \ | w \左右\ | \ cosθ\ \ \ 4 m + 21 & = 5 \√{{m} ^{2} +{49}} \离开(\压裂{\ sqrt {2}} {2} \) \ \ 16 {m} ^{2} + 168 + 441 & = \压裂{25}{2}\离开({m} ^ {2} + 49 \) \ qquad文本(\{双方方})\ \ 7 {m} ^ {2} + 336 - 343 & = 0 \ \ (m - 1) (m + 49) & = 0 \ \ \ Rightarrow猴子= 1 \文本{或}= -49。结束\{对齐}$

因此,对于这两个 $m = 1$而且 $米= -49$两个向量之间的夹角为 ${45}^{\circ}$． $_ \广场$