让gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba:gydF4y2BaVgydF4y2Ba→gydF4y2BaVgydF4y2Ba→gydF4y2BaFgydF4y2Ba是内积。选择的基础gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba=gydF4y2Ba{gydF4y2BaegydF4y2Ba
我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba.gydF4y2Ba.gydF4y2Ba.gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2Ba}gydF4y2Ba在gydF4y2Ba
VgydF4y2Ba定义矩阵gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba=gydF4y2BaGgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BajgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaegydF4y2Ba
我gydF4y2Ba,gydF4y2BaegydF4y2Ba
jgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba⩽gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BajgydF4y2Ba⩽gydF4y2BangydF4y2Ba.gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba被称为gydF4y2Ba格拉姆矩阵gydF4y2Ba内积。然后计算两个向量的内积gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba
,gydF4y2BawgydF4y2Ba
,首先计算坐标gydF4y2Ba
[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
[gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba,然后计算gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2Ba[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba[gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2BatgydF4y2BaGgydF4y2Ba[gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba.这种表示法也使动机中给出的多重线性概念更加自然。此外,如果是基gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba与gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba选定向量gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba是一些gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba×gydF4y2BangydF4y2Ba矩阵在gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba,然后是地图gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2Ba[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba[gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2BatgydF4y2BaGgydF4y2Ba[gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba定义所张成的空间上的内积gydF4y2Ba
BgydF4y2Ba(通过矩阵乘法的定义,2线性是很明显的)。在这个空间上,内积之间有一个双向射gydF4y2Ba
昏暗的gydF4y2BangydF4y2Ba和gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba×gydF4y2BangydF4y2Ba矩阵。gydF4y2Ba
现在让我们来讨论一下gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba会受到基础改变的影响。让gydF4y2Ba
年代gydF4y2Ba是基的变换矩阵gydF4y2Ba
[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba=gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba.得到如下信息:gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2Ba[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba[gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2BaBgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba[gydF4y2Ba年代gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2Ba一个gydF4y2BatgydF4y2BaGgydF4y2Ba[gydF4y2Ba年代gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2Ba[gydF4y2BavgydF4y2Ba
]gydF4y2Ba一个gydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2Ba年代gydF4y2BatgydF4y2BaGgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba)gydF4y2Ba[gydF4y2BawgydF4y2Ba
]gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba使格拉姆矩阵在基中gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba是gydF4y2Ba
年代gydF4y2BatgydF4y2BaGgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
锻炼。gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba
ggydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2BavgydF4y2Ba
,gydF4y2BawgydF4y2Ba
)gydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BawgydF4y2Ba
,gydF4y2BavgydF4y2Ba
)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba