积分符号下的微分gydF4y2Ba

积分符号下的微分gydF4y2Ba是在gydF4y2Ba微积分gydF4y2Ba用于计算某些积分。在被积分函数的条件相当宽松的情况下，积分符号下的微分可以交换积分和微分的顺序。最简单的形式，叫做gydF4y2Ba莱布尼茨积分法则gydF4y2Ba，积分符号下的微分使下式在较轻的假设下成立gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $\压裂{d} {dx} \ int_{一}^ {b} f (x, t) \, dt = \ int_{一}^ {b} \压裂{\部分}{x} \部分f (x, t) \, dt。gydF4y2Ba$

许多积分，否则是不可能的或需要更复杂的方法可以通过这种方法来解决。gydF4y2Ba

积分符号下最一般的微分形式是:如果gydF4y2Ba $f (x, t)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba连续gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba连续可微的gydF4y2Ba(例如,gydF4y2Ba偏导数gydF4y2Ba存在并且本身是连续的)函数和积分的极限gydF4y2Ba $(x)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $b (x)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba连续gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba连续可微的gydF4y2Ba的功能gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $d \压裂{\ mathrm {}} {\ mathrm d} {x} \ int_{一个(x)} ^ {b (x)} f (x, t) \ \ mathrm {d} t = f (x, b (x)) \ cdot b (x) - f (x (x)) \ cdot“(x) + \ int_{一个(x)} ^ {b (x)} \压裂{\部分}{x} \部分f (x, t) \ \ mathrm {d} t。gydF4y2Ba$

在这种情况下gydF4y2Ba $(x)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $b (x)gydF4y2Ba$是常数函数，这个公式可以简化成更简单的形式gydF4y2Ba $d \压裂{\ mathrm {}} {\ mathrm d} {x} \ int_{一}^ {b} f (x, t) \ \ mathrm {d} t = \ int_{一}^ {b} \压裂{\部分}{x} \部分f (x, t) \ \ mathrm {d} t。gydF4y2Ba$这个更简单的表述被称为gydF4y2Ba莱布尼茨积分法则gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

一般来说，我们用积分符号下的微分来计算可以被认为属于某个由实变量参数化的积分族的积分。为了更好地理解这句话，考虑下面的例子:gydF4y2Ba

计算定积分gydF4y2Ba $\int_{0}^{1} \frac{t^{3} - 1}{\ln t} \， dt。gydF4y2Ba$

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这个积分对标准的积分方法，如分部积分，u-代入等，是有阻力的。我们想用积分号下的微分来计算它。gydF4y2Ba

如何选择一个函数在积分号下求导?的出现gydF4y2Ba $\ ln tgydF4y2Ba$在被积函数的分母上是不受欢迎的，我们想把它消掉。谢天谢地，我们知道gydF4y2Ba $\frac{d}{dx} t^x = t^x \ln t，gydF4y2Ba$分子对指数求导似乎是我们要做的。gydF4y2Ba

相应地，我们定义一个函数gydF4y2Ba $G (x) = \int_{0}^{1} \frac{t^x - 1}{\ln t} \， dt。gydF4y2Ba$在这个符号中，我们要求的积分是gydF4y2Ba $g (3)gydF4y2Ba$．注意，给定的积分已被重铸为一族定积分中的一员gydF4y2Ba $g (x)gydF4y2Ba$由变量索引gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

根据莱布尼茨积分规则，我们计算gydF4y2Ba $g’(x) = \ int_{0} ^{1} \压裂{\部分}{x} \部分\压裂{t ^ x - 1} {\ ln t} \, dt = \ int_{0} ^{1} \压裂{t ^ x \ ln t} {\ ln t} \, dt = \压裂{t ^ {x + 1}} {x + 1} \境\ vert_{0} ^{1} = \压裂{1}{x + 1}。gydF4y2Ba$由此可见gydF4y2Ba $g(x) = \ln|x+1| + CgydF4y2Ba$对于某个常数gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

来确定gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$，请注意gydF4y2Ba $G (0) = 0gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $0 = g(0) = \ln 1 + C = CgydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba $G (x) = \ln|x+1|gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$这样积分就存在了。特别是,gydF4y2Ba $G (3) = \ln 4 = 2\ln 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

在这个例子中，被积函数的一部分被替换为一个变量，并使用积分符号下的微分来研究结果函数。这是解决问题原则的一个很好的例子:如果被一个特定的问题困住了，试着解决一个更普遍的问题。gydF4y2Ba

另一个例子说明了这种技术的一般形式的力量，因为可以用它来计算高斯积分。gydF4y2Ba

计算定积分gydF4y2Ba $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2} \， dx。gydF4y2Ba$

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定义一个函数gydF4y2Ba $g (t) = \离开(\ int_ {0} ^ ^ {t} e {- x ^ 2/2} \, dx \右)^ 2。gydF4y2Ba$我们的目标是计算gydF4y2Ba $g (\ infty)gydF4y2Ba$然后取它的平方根。gydF4y2Ba

关于的微分gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba $g”(t) = 2 \ cdot \离开(\ int_ {0} ^ ^ {t} e {- x ^ 2/2} \, dx \) \ cdot \离开(\压裂{d} {dt} \ int_ {0} ^ ^ {t} e {- x ^ 2/2} \, dx \右)= 2 e ^ {- t ^ 2 / 2} \ int_ {0} ^ ^ {t} e {- x ^ 2 / 2} \, dx = 2 \ int_ {0} ^ ^ {t} e {- (t ^ 2 + x ^ 2) / 2} \, dx。gydF4y2Ba$

做变量变换gydF4y2Ba $U = x/tgydF4y2Ba$，使积分变换为gydF4y2Ba $G '(t) = 2 \int_{0}^{1}te^{-(1+u^2)t^2/2}\， du。gydF4y2Ba$被积函数有一个封闭形式的不定积分gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $g”(t) = 2 \ int_{0} ^{1} \压裂{\部分}{\部分t} \压裂{e ^ {- (1 + u ^ 2) t ^ 2/2}} {1 + u ^ 2} \, du = 2 \压裂{d} {dt} \ int_{0} ^{1} \压裂{e ^ {- (1 + u ^ 2) t ^ 2/2}} {1 + u ^ 2} \, du。gydF4y2Ba$

集gydF4y2Ba $h (t) = \ int_{0} ^{1} \压裂{e ^ {- (1 + x ^ 2) t ^ 2/2}} {1 + x ^ 2} \, dx。gydF4y2Ba$那么通过上述计算，gydF4y2Ba $G '(t) = -2h'(t)gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $g(t) = -2h(t) + CgydF4y2Ba$．来确定gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$,取gydF4y2Ba $t \ 0gydF4y2Ba$在方程中;自gydF4y2Ba $G (0) = 0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $h (0) = \ int_{0} ^{1} \压裂{1}{1 + x ^ 2} \, dx = \ tan ^ {1} x \境\ vert_{0} ^{1} = \压裂{\π}{4},gydF4y2Ba$由此可见gydF4y2Ba $0 = -\pi/2 + C \表示C = \pi/2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

最后,以gydF4y2Ba $t \ \ inftygydF4y2Ba$，我们得出结论gydF4y2Ba $G (\infty) = -2h(\infty) + \pi/2 = \pi/2gydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba $\ int_ {0} ^ ^ {\ infty} e {- x ^ 2/2} \, dx = \√6{\压裂{\π}{2}}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$真诚对待gydF4y2Ba $C > 0gydF4y2Ba$．表明,gydF4y2Ba

$\ int_ {- \ infty} ^ ^ {\ infty} e {- c x ^ {2}} \ operatorname{小块土地}(x + b) \ \ mathrm x = \ d{}√6{\压裂{\π}{c}} \ operatorname{小块土地}\离开(\压裂{b \ sqrt {c}}{\√6{一个^ {2}+ c}} \右)gydF4y2Ba$

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让gydF4y2Ba $A b cgydF4y2Ba$真诚对待gydF4y2Ba $C > 0gydF4y2Ba$．定义gydF4y2Ba

$我(a, b, c) = \ int_ {- \ infty} ^ ^ {\ infty} e {- c x ^ {2}} \ operatorname{小块土地}(x + b) \ mathrm {d} xgydF4y2Ba$

如果我们设置gydF4y2Ba $u = \√6 c} {xgydF4y2Ba$然后我们发现gydF4y2Ba

$我(a, b, c) = \ int_ {- \ infty} ^ ^ {\ infty} e {- u ^ {2}} \ operatorname{小块土地}\离开(\压裂{一}{\ sqrt {c}} u + b \) \压裂{\ mathrm {d} u} {\ sqrt {c}} = \压裂{1}{\ sqrt {c}}我\离开(\压裂{一}{\ sqrt {c}}, b, 1 \右)gydF4y2Ba$

所以我们将专注于确定gydF4y2Ba $J(a, b) = I(a, b, 1)gydF4y2Ba$．回想一下,gydF4y2Ba

$x = \压裂\ operatorname{小块土地}{2}{\ sqrt{\π}}\ int_ {0} ^ ^ {x} e {- t ^ {2}} \ mathrm {d} t \四\ Longrightarrow \四\ operatorname{小块土地}^ {\ '}(x) = \压裂{2}{\ sqrt{\π}}e ^ {- x ^ {2}}gydF4y2Ba$

在积分号下求导gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$我们发现gydF4y2Ba

$\压裂{\部分J}{\部分}= \ int_ {- \ infty} ^ ^ {\ infty} e {- x ^{2}} \压裂{\部分}{\部分}\ operatorname{小块土地}(x + b) \ mathrm x = \ d{}压裂{2}{\ sqrt{\π}}\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} e x ^ {- x ^ {2}} e ^{——(x + b) ^ {2}} \ mathrm {d} xgydF4y2Ba$

对已有的指数进行平方gydF4y2Ba

$x ^ {2} + (x + b) ^{2} =左\(^{2}+ 1 \右)x ^ 2 {2} + x + b ^{2} =左\(^{2}+ 1 \)\离开(x + \压裂{b}{一个^{2}+ 1}\右)^{2}+ \压裂{b ^{2}}{一个^ {2}+ 1}gydF4y2Ba$

因此gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\压裂{\部分J}{\部分}& = \压裂{2}{\ sqrt{\π}}\ exp \离开(\压裂{- b ^{2}}{一个^ {2}+ 1}\)\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ exp \离开左[- \(^{2}+ 1 \)\离开(x + \压裂{b}{一个^{2}+ 1}\右)^{2}\右]\ mathrm x \ \ & = \ d{}压裂{2}{\ sqrt{\π}}\ exp \离开(\压裂{- b ^{2}}{一个^ {2}+ 1}\)\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \离开(v - \压裂{b}{一个^{2}+ 1}\右)左\ exp \[- \离开(^{2}+ 1 \右)v ^{2} \右]\ mathrm v d{} \四\左左[v = x + b / \(^{2} + 1 \) \右]\ \ & = \压裂{2}{\ sqrt{\π}}\(- \压裂{b}{一个^ {2}+ 1}\)\ exp \离开(\压裂{- b ^{2}}{一个^ {2}+ 1}\)\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp \左左[- \(^{2}+ 1 \右)v ^{2} \右]\ mathrm v d{} \四\离开[\文本使用奇怪的{}v e ^{-左\(^{2}+ 1 \右)v ^{2}} \右]\ \ & = \压裂{2}{\ sqrt{\π}}\离开(- \压裂{b}{一个^ {2}+ 1}\)\ exp \离开(\压裂{- b ^{2}}{一个^{2}+ 1}\)\压裂{\ sqrt{\π}}{\√6{一个^{2}+ 1}}\四((i)) \ \ & = \压裂2 {b}{左\(^{2}+ 1 \右)^ {/ 2}3}\ exp \离开(\压裂{- b ^{2}}{一个^{2}+ 1}\)\{对齐}结束gydF4y2Ba$

为gydF4y2Ba $(我)gydF4y2Ba$

$\ int_ {- \ infty} ^ ^ {\ infty} e {- x ^ {2}} \ mathrm x = \ d {} sqrt{\π}{和}\四\ \四\文本伽马\离开(\压裂{1}{2}\右)= \ sqrt{\π}gydF4y2Ba$

因此,注意gydF4y2Ba $J(a, b) \右箭头0gydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $一个\ \ infty rightarrowgydF4y2Ba$，我们终于gydF4y2Ba

$J (a, b) = 2 b \ int_ {- \ infty} ^{} \压裂{x}{\离开(x ^{2} + 1 \右)^ {/ 2}3}\ exp \离开(\压裂{- b ^ {2}} {x ^ {2} + 1} \) \ mathrm {d} xgydF4y2Ba$

我们会设置gydF4y2Ba $U²= b^{2}/(1 + x²)gydF4y2Ba$这gydF4y2Ba

$2 u \ mathrm {d} u = \压裂{2 b ^ x}{2}{\离开(1 + x ^{2} \右)^ {2}}\ mathrm x = \ d{}压裂{1}{\√6 {1 + x ^{2}}} \压裂{2 b ^ x}{2}{\离开(1 + x ^{2} \右)^ {/ 2}3}\ mathrm {d} x = \压裂{你}{b} \离开(\压裂{2 b ^ x}{2}{\离开(1 + x ^{2} \右)^ {/ 2}3}\ mathrm x \ d {})gydF4y2Ba$

而且gydF4y2Ba

$d \ mathrm {} u = \压裂{x - b \ mathrm d} {x}{\离开(1 + x ^{2} \右)^ {/ 2}3}gydF4y2Ba$

因此gydF4y2Ba

$J (a, b) = 2 \ int_ {0} ^ {b / \√{1 + ^ {2}}}\ exp \离开(- u ^ {2} \) \ mathrm {d} u = \ sqrt{\π}\ operatorname{小块土地}\离开(\压裂{b}{\√6{1 + ^{2}}}\右)gydF4y2Ba$

而且gydF4y2Ba

$我(a, b, c) = \压裂{1}{\ sqrt {c}} J \离开(\压裂{一}{\ sqrt {c}}, b \右)= \√6{\压裂{\π}{c}} \ operatorname{小块土地}\离开(\压裂{b}{\√6 {1 + ^ {2}/ c}} \右)= \√6{\压裂{\π}{c}} \ operatorname{小块土地}\离开(\压裂{b \ sqrt {c}}{\√6 {c + ^{2}}} \右)gydF4y2Ba$

根据需要gydF4y2Ba

还应该注意到gydF4y2Ba反例gydF4y2Ba，这种技术并不适用。例如，假设有人试图评估gydF4y2Ba $\int_{0}^{\infty} \frac{\ sinx}{x} \， dxgydF4y2Ba$通过改变变量gydF4y2Ba $U = x/tgydF4y2Ba$对于一些gydF4y2Ba $t \ neq 0gydF4y2Ba$．然后,gydF4y2Ba $\ int_ {0} ^ {\ infty} \压裂{\ sin (x)} {x} \, dx = \ int_ {0} ^ {\ infty} \压裂{\罪你}{你}\,du = g (t)。gydF4y2Ba$在积分号下求导得到gydF4y2Ba $0 = g'(t) = \int_{0}^{\infty} \cos tu \， du，gydF4y2Ba$这是荒谬的。问题是这个函数gydF4y2Ba $F (x,t) = \ sintx /xgydF4y2Ba$不是连续可微的(考虑gydF4y2Ba $\partial f/\partial tgydF4y2Ba$当gydF4y2Ba $x = 0gydF4y2Ba$)，这是上述假设所需要的。gydF4y2Ba