笛卡尔圆定理

笛卡尔圆定理(又名吻圆定理)提供二次方程满足于四个相切圆的半径。通过求解这个方程，我们可以确定与三个给定的相切圆相切的第四个圆的半径的可能值。这个定理最初是在1643年一封René笛卡尔写给普法尔茨公主伊丽莎白的信中提出的，大概是为了打动她。

笛卡尔圆定理(又名接吻圆定理)

假设\(1\le i\ le 4\)的圆\(C_i\)是相切的，也就是说，这四个圆中的任意两个恰好在一点上接触。设\(r_i\)表示\(C_i\)的半径。

的曲率\(C_i\)的\(C_i\)被定义为\(k_i = \pm \frac{1}{r_i}，\)，其中\(k_i\)的符号的选择取决于\(C_i\)是否与其他圆内切或外切。例如，在上图中，大的绿色圆具有负曲率，因为其他三个圆是在内部与它相切。另一方面，小红圆有正曲率，因为其他三个圆是外部与它相切。

笛卡尔圆定理表明，二次方程成立:

\ [(k_1 + k_2 + k_3 + k_4) ^ 2 = 2 \大(k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + k_{4} ^{2} \大)\]。

特别地，如果已知\(k_1\)、\(k_2\)和\(k_3\)，则可将\(k_4\)解为

\ [k_4 = k_1 + k_2 + 2 \√下午k_3 \ {k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_1 k_3}。\]

这是\(k_4\)的两种显式可能性。其中一个解是正的，另一个不是正的就是负的;如果第二个解是负的，它必须代表一个在内部与其他三个解相切的圆(如上图中的大绿色圆)。

一条直线可以被认为是一个半径无穷大的圆，或者等价地，曲率为零。因此，可以将笛卡尔方程中的一个曲率设为零，得到描述如下图所示情况的关系:

显示的数字是图中圆的曲率。

设\(k_3 = 0\)，此关系式为\(k_4 = k_1 + k_2 \pm 2\√{k_1 k_2}\)。例如，使用上图中的数字，可以得到(k_4 = 25 + 81 \pm 2\sqrt{25 \cdot 81} = 106 \pm 90 = \{196,16 \}\)，如图所示。

虽然笛卡尔的圆定理很容易表述，但要证明它却不容易。下面是一个三角函数证明:

我们从三角恒等式开始:如果\(\alpha+ \beta+ \gamma=2\pi \)，那么\[{\cos}^{2}\alpha+{\cos}^{2}\beta+{\cos}^{2}\gamma=1+2 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma。]身份证明:重写上面的恒等式，我们有\[2\left({\cos}^{2}\alpha+{\cos}^{2}\beta+{\cos}^{2}\gamma\right) -3=4\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma -1。我们将显示\[LHS= RHS。\]We start with \[\begin{align} S &= \cos(2\alpha ) + \cos(2\beta ) + \cos(2\gamma)\\ &=2\left({\cos}^{2}\alpha+{\cos}^{2}\beta+{\cos}^{2}\gamma\right) -3\\ &= LHS . \end{align}\] Now, \[\begin{align} \cos(2\alpha)+\cos(2\beta) &=2\cos(\alpha + \beta )\cos(\alpha - \beta)\\ &=2\cos(2\pi - \gamma )\cos(\alpha - \beta)\\ &=2\cos(\gamma )\cos(\alpha - \beta). \end{align}\] Then \[\begin{align} S &=2\cos(\gamma)\cos(\alpha - \beta)+2{\cos}^2(\gamma) - 1 \\ &=2\cos(\gamma)\big(\cos(\alpha - \beta)+\cos(\gamma)\big) - 1 \\ &=2\cos\big(\gamma)(\cos(\alpha - \beta)+\cos(\alpha + \beta)\big) - 1 \\ &= 4\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma -1\\ &=RHS. \end{align} \]
这意味着\ (lh = RHS \)也就是说,\[2 \({\因为}^{2}\α+{\因为}^{2}\β+{\因为}^{2}\伽马\右)3βα= 4 \因为\ \因为\ \因为\γ1。于是，我们终于有了自己的身份。

用于证明的辅助图

现在，在右边的图中三角形\(ABC)，其中\(A, B\)和\(C\)是三个黑圆的中心，它的边长为\[\lvert\overline{AB}\rvert={r}_{1}+{r}_{2}，\ \lvert\overline{BC}\rvert={r}_{2}+{r}_{3}，\ \lvert\overline{CA}\rvert= {r}_{1}+{r}_{3}。设(O)为半径(r_4\)外切于所有三个黑圆的红色小圆的中心，则\lvert overline{AO}\rvert= {r}_{1}+{r}_{4}，\ lvert overline{BO}\rvert={r}_{2}+{r}_{4}，\ lvert overline{CO}\rvert={r}_{3}+{r}_{4}。同时，让\[\ \ \角AOB=\gamma，\ \ \角BOC=\alpha，\ \ \角AOC=\beta。\]然后在三角形中应用余弦法则\(AOB，AOC中行\)和\(\)开始给\[\{对齐}\ cos(\γ)& = \压裂{{AO} ^ {2} + {BO} ^ {2} - {AB} ^ {2}} {2 \ cdot AO \ cdot BO} \ \ & = \压裂{{{r} _ {4} + {r} _ {1})} ^ {2} + {({r} _ {4} + {r} _ {2})} ^ {2} - {({r} _ {1} + {r} _ {2})} ^ {2}} {2 ({r} _ {4} + {r} _ {1} ({r} _ {4} + {r} _ {2 }) }\\ &=\ 压裂{2 {r} _ {4} ^ {2} + 2 {r} _ {4} ({r} _ {1} + {r} _ {2}) 2 {r} _ {1} {r} _ {2}} {2 ({r} _ {4} + {r} _ {1} ({r} _ {4} + {r} _ {2 }) }\\ &= 1 - \压裂{2 {r} _ {1} {r} _ {2}} {({r} _ {4} + {r} _ {1} ({r} _ {4} + {r}_{ 2 }) } . \end{align}\] Replacing radii with their respective curvatures, we get \[\cos(\gamma)=1-\frac { 2{ k }_{4}^{2} }{ ({k}_{4}+{ k }_{ 1 })({k}_{4}+{ k }_{ 2 }) }=1-{\lambda}_{3}.\] Similarly, we have \[\begin{align} \cos(\beta)&=1-\frac { 2{ k }_{4}^{2} }{ ({k}_{4}+{ k }_{ 1 })({k}_{4}+{ k }_{ 3 }) }=1-{\lambda}_{2}\\ \cos(\alpha)&=1-\frac { 2{ k }_{4}^{2} }{ ({k}_{4}+{ k }_{ 2 })({k}_{4}+{ k }_{ 3 }) }=1-{\lambda}_{1} . \end{align}\] Placing the values of \(\cos(\alpha), \cos(\beta), \cos(\gamma)\) on our trignometric identity, we get \[{ (1-{ \lambda }_{ 1 }) }^{ 2 }+{ (1-{ \lambda }_{ 2 }) }^{ 2 }+{ (1-{ \lambda }_{ 3 }) }^{ 2 }=1+2(1-{ \lambda }_{ 1 })(1-{ \lambda }_{ 2 })(1-{ \lambda }_{ 3 }).\] Simplifying, we get \[{ { \lambda }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { \lambda }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { \lambda }_{ 3 } }^{ 2 }+2{ \lambda }_{ 1 }{ \lambda }_{ 2 }{ \lambda }_{ 3 }=2({ \lambda }_{ 1 }{ \lambda }_{ 2 }+{ \lambda }_{ 2 }{ \lambda }_{ 3 }+{ \lambda }_{ 1 }{ \lambda }_{ 3 }).\] Dividing both sides by \({ \lambda }_{ 1 }{ \lambda }_{ 2 }{ \lambda }_{ 3 }\) gives \[\frac { { \lambda }_{ 1 } }{ { \lambda }_{ 2 }{ \lambda }_{ 3 } } +\frac { { \lambda }_{ 2 } }{ { \lambda }_{ 1 }{ \lambda }_{ 3 } } +\frac { { \lambda }_{ 3 } }{ { \lambda }_{ 1 }{ \lambda }_{ 2 } } +2=2\left(\frac { 1 }{ { \lambda }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { \lambda }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { \lambda }_{ 3 } } \right).\] Putting the values of \({\lambda}_{1},{\lambda}_{2},{\lambda}_{3}\) gives \[\frac { { ({k}_{4}+{ k }_{ 1 }) }^{ 2 } }{ 2{ k }_{4}^{2} } +\frac { { ({k}_{4}+{ k }_{ 2 }) }^{ 2 } }{ 2{ k }_{4}^{2} } +\frac { { ({k}_{4}+{ k }_{ 3 }) }^{ 2 } }{ 2{ k }_{4}^{2} } +2=2\left(\frac { ({k}_{4}+{ k }_{ 2 })({k}_{4}+{ k }_{ 3 }) }{ 2{ k }_{4}^{2} } +\frac { ({k}_{4}+{ k }_{ 1 })({k}_{4}+{ k }_{ 2 }) }{ 2{k}_{4}^{2} } +\frac { ({k}_{4}+{ k }_{ 1 })({k}_{4}+{ k }_{ 2 }) }{ 2{ k }_{4}^{2} } \right).\] Simplifying, we get \[{ k }_{ 1 }^{ 2 }+{ k }_{ 2 }^{ 2 }+{ k }_{ 3 }^{ 2 }+2k_4({ k }_{ 1 }+{ k }_{ 2 }+{ k }_{ 3 })+7{ k }_{4}^{2}=6{ k }_{4}^{2}+4k_4({ k }_{ 1 }+{ k }_{ 2 }+{ k }_{ 3 })+2({ k }_{ 1 }{ k }_{ 2 }+{ k }_{ 2 }{ k }_{ 3 }+{ k }_{ 1 }{ k }_{ 3 }).\] Further simplifying, we get \[\begin{align} { k }_{ 1 }^{ 2 }+{ k }_{ 2 }^{ 2 }+{ k }_{ 3 }^{ 2 }+{ k }_{ 4 }^{ 2 } &=2{ k }_{ 4 }({ k }_{ 1 }+{ k }_{ 2 }+{ k }_{ 3 })+2({ k }_{ 1 }{ k }_{ 2 }+{ k }_{ 2 }{ k }_{ 3 }+{ k }_{ 1 }{ k }_{ 3 })\\ &={({k}_{1}+{k}_{2}+{k}_{3}+{k}_{4})}^{2}-\left({k}_{1}^{2}+{k}_{2}^{2}+{k}_{3}^{2}+{k}_{4}^{2}\right). \end{align}\] Finally, we have \[2\left({ k }_{ 1 }^{ 2 }+{ k }_{ 2 }^{ 2 }+{ k }_{ 3 }^{ 2 }+{ k }_{ 4 }^{ 2 }\right)={ ({ k }_{ 1 }+{ k }_{ 2 }+{ k }_{ 3 }+{ k }_{ 4 }) }^{ 2 }.\] Hence, the theorem is proved. \(_\square\)

笛卡尔的圆定理也可以推广到非二维空间，这个定理有时被称为Soddy-Gosset定理．在欧氏空间在\(n\)个维度中，相切球的最大个数为\(n+2\)。在二维空间中，有4个相切圆;在三维空间中，总能找到5个相切的球面。它们曲率的关系是

左(\ \ [n \ sum_ {i = 1} ^ {n + 2} \ kappa_i ^ 2 \右)= \离开(\ sum_ {i = 1} ^ {n + 2} \ kappa_i \右)^ 2。\]