合理函数的衍生物GyD.F4y2Ba

请记住，一个合理的功能GyD.F4y2Ba $h（x）GyD.F4y2Ba$可以以这样的方式表达GyD.F4y2Ba $h（x）= \ frac {f（x）} {g（x）}，GyD.F4y2Ba$在哪里GyD.F4y2Ba $f（x）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $g（x）GyD.F4y2Ba$是多项式功能。使用这种基本的根本，我们可以找到合理功能的衍生品。让我们检查如何做到。GyD.F4y2Ba

可以使用合理函数的衍生物使用GyD.F4y2Ba商规则GyD.F4y2Ba：GyD.F4y2Ba

让GyD.F4y2Ba ${h（x）= \ frac {f（x）} {g（x）}}，GyD.F4y2Ba$然后GyD.F4y2Ba ${h'（x）= \ frac {g（x）\ cdot f'（x）-f（x）\ cdot g'（x）} {\ left（g（x）\右）^ 2}}。GyD.F4y2Ba$

我们从衍生品的基本定义开始GyD.F4y2Ba

$\ displaystyle \ dfrac {dh（x）} {dx} = lim _ {\ delta x \ lightarrow 0} {\ frac {h（x + \ delta x）-h（x）} {\ delta x}}。GyD.F4y2Ba$

自从我们有GyD.F4y2Ba $\ frac {f（x）} {g（x）} = h（x）GyD.F4y2Ba$，我们可以将它重写为GyD.F4y2Ba

$\的DisplayStyle \ dfrac {DH（X）} {DX} = \ LIM _ {\增量X \ RIGHTARROW 0} {\ dfrac {\压裂{F（X + \增量X）} {克（X + \增量X）} -\ frac {f（x）} {g（x）}} {\ delta x}}。GyD.F4y2Ba$

简化这一点，我们有GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} \ frac {dh（x）} {dx}＆= lim _ {\ delta x \ lightarrow 0} {\ frac {f（x + \ delta x）g（x）-f（x）g（x + \ delta x）} {\ delta xg（x）g（x + \ delta x）}} \\\\＆= \ lim _ {\ delta x \ lightarrow 0} {\ frac {1} {g（x）g（x + delta x）}} \ lim _ {\ delta x \ lettrarrow 0} {\ frac {f（x + \ delta x）g（x）-f（x）g（x + \ delta x）} {\ delta x}} \\\\＆= \ frac {1} {\ big（g（x）\ big）^ 2} \ lim _ {\ delta x \ lightarrow 0} {\ frac {f（x + \ deltax）g（x）-f（x）g（x + \ delta x）} {\ delta x}}。\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

添加和减去GyD.F4y2Ba $f（x）g（x）GyD.F4y2Ba$在分子中，我们有GyD.F4y2Ba

$\ displaystyle \ frac {dh（x）} {dx} = \ frac {1} {{\ big（g（x）\ big）} ^ {2}} \ lim _ {\ delta x \ ligharrow 0} {\FRAC {F（x + \ delta x）g（x）-f（x）g（x）+ f（x）g（x）-f（x）g（x + \ delta x）} {\ delta x}}GyD.F4y2Ba$

操纵一点，我们有GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} \ frac {dh（x）} {dx}＆= \ frac {1} {{g（x）} {{g（x）} ^ {2}} \ lim _ {\ delta x \ lettrarow 0} {\ left（g（x）\ bigg（\ frac {f（x + \ delta x）-f（x）} {\ delta x} \ bigg）-f（x）\ bigg（\ frac {g（x + \ delta x） -g（x）}{ \Delta x } \bigg)\right) } \\\\ &=\dfrac { \displaystyle \left(g(x)\bigg(\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+\Delta x)-f(x) }{ \Delta x } } \bigg)-f(x)\bigg(\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { g(x+\Delta x)-g(x) }{ \Delta x } } \bigg)\right) }{ { g(x) }^{ 2 } }. \end{aligned}$

最后，我们得到了GyD.F4y2Ba

$\ displaystyle \ boxed {\ dfrac {dh（x）} {dx} = \ dfrac {f'（x）g（x）-g'（x）f（x）} {{\ big（g（x）\大）} ^ {2}}}。\ _ \ squareGyD.F4y2Ba$

找GyD.F4y2Ba $\ frac {d} {dx} \ left（\ frac {3x ^ 3-x-2} {2x} \右）。GyD.F4y2Ba$

---

使用上面的公式，让GyD.F4y2Ba $3x ^ 3-x-2 = f（x）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $2x = g（x）。GyD.F4y2Ba$然后GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} \ frac {d} {dx} h（x）＆= \ frac {（2x）（9x ^ 2-1） - （3x ^ 3-x-2）（2）} {（2x）^ 2} \\＆= \ frac {18x ^ 3-2x-6x ^ 3 + 2x + 4} {4x ^ 2} \\＆= \ frac {3x ^ 3 + 1} {x ^ 2}。\ _\ square \结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

当表达式非常复杂时，对理性术语进行差异是非常复杂和混乱的。在这种情况下，您可以将分子作为一个表达式和分母作为一个表达，找到它们的单独衍生物。现在使用上述公式写下馏分的组合衍生物，直接替代，以便不会混淆，并且将减少错误的机会。以下几个例子说明了如何执行以下操作：GyD.F4y2Ba

如果GyD.F4y2Ba $y = \ frac {a - x} {a + x} \（x \ neq -a），GyD.F4y2Ba$然后找到GyD.F4y2Ba $\ frac {dy} {dx}GyD.F4y2Ba$。GyD.F4y2Ba

---

写GyD.F4y2Ba $U（x）= a - x \暗示U'（x）= -1GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $v（x）= a + x \意味着v'（x）= 1GyD.F4y2Ba$以便GyD.F4y2Ba $y = \ frac {u（x）} {v（x）}：GyD.F4y2Ba$

$\ begin {对齐} \ dfrac {dy} {dx}＆= \ dfrac {v（x）u'（x） - v'（x）u（x）} {\ big（v（x）\ big）^2} \\\\＆= \ dfrac {（A + X）（ - 1） - （一 - X）（1）} {（A + X）^ 2} \\\\＆= \ dfrac {-2a} {a ^ 2 + 2ax + x ^ 2}。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

如果GyD.F4y2Ba $y = \ frac {px ^ 2 + qx + r} {ax + b} \ \ big（| a | + | b | \ neq 0 \ big），GyD.F4y2Ba$然后找到GyD.F4y2Ba $\ frac {dy} {dx}GyD.F4y2Ba$。GyD.F4y2Ba

---

写GyD.F4y2Ba $U（x）= px ^ 2 + qx + r \暗示U'（x）= 2px + qGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $v（x）= ax + b \意味着v'（x）= aGyD.F4y2Ba$以便GyD.F4y2Ba $y = \ frac {u（x）} {v（x）}：GyD.F4y2Ba$

$\ begin {对齐} \ dfrac {df} {dx}＆= dfrac {dfrac {d} left（\ dfrac {u（x）} {v（x）}} \\\\＆= \dfrac {v（x）u'（x） - v'（x）u（x）} {\ big（v（x）\ big）^ 2} \\\\＆= \ dfrac {（斧头+ b）（2P.X+问：）- (a)(px^2 + qx + r)}{(ax + b)^2} \\\\ & = \dfrac{apx^2 + 2bpx + bq - ar}{a^2x^2 + 2abx + b^2}.\ _\square \end{aligned}$

如果GyD.F4y2Ba $y = \ frac {1} {ax ^ 2 + bx + c} \ \ big（| a | + | b | + | c | \ neq 0 \ big），GyD.F4y2Ba$然后找到GyD.F4y2Ba $\ frac {dy} {dx}GyD.F4y2Ba$。GyD.F4y2Ba

---

写GyD.F4y2Ba $U（x）= 1 \暗示U'（x）= 0GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $v（x）= ax ^ 2 + bx + c \意味着v'（x）= 2ax + bGyD.F4y2Ba$以便GyD.F4y2Ba $y = \ frac {u（x）} {v（x）}：GyD.F4y2Ba$

$\ begin {对齐} \ dfrac {df} {dx}＆= dfrac {dfrac {d} left（\ dfrac {u（x）} {v（x）}} \\\\＆= \dfrac {v（x）u'（x） - v'（x）u（x）} {\ big（v（x）\ big）^ 2} \\\\＆= \ dfrac {（ax ^ 2 +BX + C）（0） - （2AX + B）（1）} {（AX ^ 2 + Bx + C）^ 2} \\\\＆= \ dfrac { - （2ax + b）} {（ax ^2 + bx + c）^ 2}。\ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4y2Ba$

如果GyD.F4y2Ba $y = \ frac {ax + b} {cx + d} \ \ big（| c | + | d | \ neq 0 \ big），GyD.F4y2Ba$然后找到GyD.F4y2Ba $\ frac {dy} {dx}GyD.F4y2Ba$。GyD.F4y2Ba

---

写GyD.F4y2Ba $U（x）= ax + b \意味着你'（x）= aGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $v（x）= cx + d \意味着v'（x）= cGyD.F4y2Ba$以便GyD.F4y2Ba $y = \ frac {u（x）} {v（x）}：GyD.F4y2Ba$

$\ begin {对齐} \ dfrac {df} {dx}＆= dfrac {dfrac {d} left（\ dfrac {u（x）} {v（x）}} \\\\＆= \dfrac {v（x）u'（x） - v'（x）u（x）} {\ big（v（x）\ big）^ 2} \\\\＆= \ dfrac {（cx + d）（一种）- (c)(ax + b)}{(cx + d)^2} \\\\ & = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2} .\ _\square \end{aligned}$

如果GyD.F4y2Ba $y = \ frac {1 - x \ sqrt {x}} {1 + x \ sqrt {x}} \（x> 0），GyD.F4y2Ba$然后找到GyD.F4y2Ba $\ frac {dy} {dx}GyD.F4y2Ba$。GyD.F4y2Ba

---

写GyD.F4y2Ba $U（x）= 1 - x \ sqrt {x} \暗示U'（x）= 0 - \ sqrt {x} - \ frac {x} {2 \ sqrt {x}} = - \ frac {3 \ sqrt{x}} {2}GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $v（x）= 1 + x \ sqrt {x} \意味着v'（x）= 0 + \ sqrt {x} + \ frac {x}} = \ sqrt {x}} = \ frac {3 \ sqrt {x}} {2}。GyD.F4y2Ba$

现在，GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} y＆= \ dfrac {u（x）} {v（x）} {v（x）} \\\\ \ lightarrow \ dfrac {dy} {dx}＆= dfrac {v（x）u'（x）- v'（x）u（x）} {\ big（v（x）\ big）^ 2} \\\\＆\ dfrac {（1 + x \ sqrt {x}）\ left（ - \ dfrac{3 \ sqrt {x}} {2} \右） - \左（\ dfrac {3 \ sqrt {x}} {2} \右）（1 - x \ sqrt {x}）} {（1 + x\ sqrt {x}）^ 2} \\\\＆= \ dfrac {-3 \ sqrt {x} - 3x ^ 2 - （3 \ sqrt {x} - 3x ^ 2）} {2（1 + x \sqrt {x}）^ 2} \\\\＆= \ dfrac {-6 \ sqrt {x}} {2（1 + x \ sqrt {x}）^ 2} \\\\＆= - \ dfrac {3 \ sqrt {x}} {（1 + x \ sqrt {x}）^ 2}。\ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4y2Ba$