多项式的导数

多项式是最简单的微分函数之一。当求多项式的导数时，我们主要利用权力规则．

权力规则

对于实数 $n$，的导数 $f (x) = x ^ n$是

$f(x) = n x ^{n-1}。$

给定一个线性函数 $f (x) = ax + b$，我们使用这个性质分化是线性的

$d \压裂{}{dx} f (x) = \压裂{d} {dx} (ax + b) = \压裂{d} {dx} (ax) + \压裂{d} {dx} (b) = a。$

因此，线性函数的导数是一个常数。

如果 $F (x) = 3x + 2$是什么 $f (x) ?$

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我们有 $f (x) = 3,$直线的斜率。 $_ \广场$

如果 $f (x)$线性函数是这样的吗 $f (1) = 2$和 $f (3) = 4$是什么 $f (x) ?$

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让 $f (x)$为线性函数 $F (x)= ax + b$．自 $f (3) = 4$,我们有 $一个= 4$．自 $f (1) = 2$,我们有 $2 = 4乘以1 + b$,这意味着 $答案:B$．

因此, $F (x) = 4x - 2$． $_ \广场$

如果 $f (x)$是线性函数吗 $f (2) = 10$和 $f (1) = 4,$价值是什么

$f (0) + f (0) ?$

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让 $f (x)$为线性函数 $F (x) = ax + b$．自 $= f (1) = 4$,我们有 $F (x) = 4x + b$．然后 $10 = f(2) = 4(2) + b$,这意味着 $b = 2$．因此, $F (0) = 4(0) + 2 = 2$， $F '(0) = a = 4$,

$F (0) + F '(0) = 2 + 4 = 6。\ _ \广场$

如果 $F (x) = 3x^2 + 4x + 5$是什么 $f (1) ?$

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我们有 $F '(x) = 2 \乘以3 x + 1 \乘以4 = 6x + 4$,这意味着 $f (1) = 10$． $_ \广场$

如果 $F (x) = -3x^4 + 7x^3 - 6x^2 - (x + 5$是什么 $d \压裂{}{dx} f (x) ?$

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我们有

${对齐}\ \开始压裂{d} {dx} \大(3 x ^ 4 + 7 x ^ 3 - 6 x ^ 2 - \πx + 5 \大)& = (3)(4)x ^ {4} + (7) (3) x ^ {3} - (6) (2) x ^{2} -(\π)(1)x ^ {1} + 0 \ \ & = -12 x ^ 3 + 21 x ^ 2 - 12 x - \π。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $F (x) = (3 -2) ^4$是什么 $d \压裂{}{dx} f (x) ?$

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请注意, $f (x)$是一个多项式，但不是上面总结中给出的形式。稍后我们将看到直接微分这个函数的方法，但要使用到目前为止的工具，我们首先要根据二项式定理展开多项式。这给了

$\{对齐}开始f (x) = (3 x - 2) ^ 4 \ \ & = x (3) ^ 4 + 4 (3 x) ^ 3(2) + \压裂{4 \ cdot 3} {2} (3 x) ^ 2(2) ^ 2 + \压裂{4 \ cdot 3 \ cdot 2} {1 \ cdot 2 \ cdot 3} (3 x) (2) ^ 3 + (2) ^ 4 \ \ & = 81 x ^ 4 - 216 x ^ 3 + x 216 x ^ 2 - 96 + 16日结束\{对齐}$

这意味着

${对齐}\ \开始压裂{d} {dx} f (x) = (81) (4) x ^ 3 - (216) (3) x ^ 2 + (216) (2) x - 96 \ \ & = 324 x ^ 3 - 648 x ^ 2 + 432 x - 96。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $f (x) = x ^ 3$是什么 ${f(2+h) - f(2)} {h}?$

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利用上面的公式，我们得到

${对齐}\ \开始lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{(2 + h) - f (2)} {h} & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{(2 + h) ^ 3 - 2 ^ 3} {h} \ \ & = 3 \ * 2 ^{3} \ \ & = 12。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 ${f(x+h) - f(x)} {h} = 4x^2$是什么 $f (2) ?$

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通过上面的公式，我们知道 ${\ displaystyle \ lim_ h \ rightarrow{0}} \压裂{f (x + h) - f (x)} {h} = \压裂{d} {dx} f (x) = f (x) = 4 x ^ 2$．然后

$\{对齐}开始f ' (2) & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{(2 + h) - f (2)} {h} \ \ & = 4 \ * 2 ^ 2 \ \ & = 16。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $F (x) = x^2 + 4x$是什么 ${f(h) - f(3)} {h -3}?$

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请注意, ${f(h) - f(3)} {h -3}$不是上面公式中给出的形式。因此，我们采用代换法得到通式。替换 $k$为 $h - 3,$我们有

$\ lim_ {h \ rightarrow 3} \压裂{(h) - f (3)} {h 3} = \ lim_ {k \ rightarrow 0} \压裂{f (3 + k) - f (3)} {k}。$

然后自 ${\ displaystyle \ lim_ h \ rightarrow{0}} \压裂{f (x + h) - f (x)} {h} = \压裂{d} {dx} f (x) = f (x) = 2 x + 4$,我们有

$\ lim_ {k \ rightarrow 0} \压裂{f (3 + k) - f (3)} {k} = f '(3) = 2 \ * 3 + 4 = 10。\ _ \广场$

求导数 $F (x) = (ax + b) n$为 $x > - \压裂{b}{}。$

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写 $U = ax + b意味着U ' = a$这 $f (x) = u ^ n。$

然后 $f (x) = \压裂{d} {dx} (u ^ n) =ν^ {n - 1} \ cdot u ' =一个(ax + b) ^ {n - 1} \ _ \广场$

函数的导数 $x ^ n$,在那里 $n$是不是一个非零实数 $n x ^ {n}$．

对于正整数 $n$，我们可以利用二项式定理，用第一性原理来证明:

${对齐}\ \开始lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{(x + h) ^ n - x ^ n} {h} & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{\离开[x ^ n + n x ^ {n} h + n (n - 1) x ^ {2} h ^ 2 + \ cdots + h ^ n \] - x ^ n} {h } \\ & = \ h \ rightarrow lim_ {0} n x ^ {n} + n (n - 1) x ^ {2} h + \ cdots + h ^ {n} \ \ & = n x ^ {n}。结束\{对齐}$

通过微分的线性性，我们得到 $f (x) = an x ^ n +现代x ^ {n} {n} + \ cdots + a₂x ^ 2 + a_1 x +现代0$,然后

$d \压裂{}{dx} f (x) = n an x ^ {n} + (n - 1)现代x ^ {n} {n} + \ cdots + 2 a₂x + 1 a_1 x ^ 0。$

如果 $F (x) = (x^2 - 1) (x^2 - 2x + 3)$是什么 $f (1) ?$

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乘出来，得到 $F (x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 2x - 3$．因此 $F '(x) = 4x^3 - 6x^2 + 4x + 2$．因此

$F '(1) = 4 - 6 + 4 + 2 = 4。\ _ \广场$

请注意我们也可以用乘法法则对这个函数求导，得出结论 $f (x) = (x ^ 2 - 1) (2 x - 2) + (2 x) (x ^ 2 - 2 x + 3)。$

求导数 $F (x) = (ax + b)^n(cx + d)^m。$

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我们有

$\{对齐}开始f (x) & = \ underbrace {(ax + b) ^ n} _ {u (x)} \ cdot \ underbrace {(cx + d) ^ m} _ {v (x)} \ \ \ \ f (x) & = u的(x) v (x) + u v”(x (x) ) \\ & = \ underbrace {n (ax + b) ^ {n - 1} (a)} _ {u ' (x)} (cx + d) ^ m + (ax + b) ^ n \ underbrace {m (cx + d) ^ {m - 1} (c)} _ {v ' (x )} \\ & = ( ax + b) ^ n (cx + d) ^ m \大(na (ax + d) ^ {1} + mc (ax + b) ^{1} \大 ) \\ & = ( ax + b) ^ n (cx + d) ^ m左(\ \ dfrac {na} {ax + b} + \ dfrac {mc}{残雪+ d} \右)。\ _\square \\ end{aligned}$

求导数 $F (x) =√{x} + 2x^\frac34 + 3x^\frac56。$

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我们有

$\{对齐}开始f (x) & = x ^ \ frac12 + 2 x ^ \ frac34 + 3 x ^ \ frac56 \ \ \ \ f (x) & = \ dfrac12 x ^ {\ frac12 - 1} + 2 \ cdot \ dfrac34 x ^ {\ frac34 - 1} + 3 \ cdot \ dfrac56 x ^ {\ frac56 - 1 } \\ & = \ dfrac{1}{2 \√{x}} + \ dfrac{3}{2 \√[4]{x}} + \ dfrac{5}{2 \√[6]{x}}。\ _\square \\ end{aligned}$