第一原理求导

第一性原理导数指用代数方法求曲线斜率的一般表达式。它也被称为三角法。导数是瞬时变化率的度量，它等于

$f (x) = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{f (x + h) - f (x)} {h}。$

这个表达式是剩下的微分学的基础:所有的规则，恒等式和事实都是由这个表达式推导出来的。

导数只是对变化率的测量。它可以是距离对时间的变化率或者温度对距离的变化率。我们要测量一个函数的变化率 $y = f (x)$关于它的变量 $x$．

数量变化率的一般概念 $y$关于 $x$是在 $y$除以 $x$关于这个问题 $一个$．它描述了平均变化率可以表示为

$\frac{f(x) - f(a)} {x - a}。$

为求瞬时变化率，取极限值为 $x$方法 $一个$．为了简化，我们设 $X = a + h$，取极限值为 $h$接近0。因此,我们有

$h \ rightarrow \ lim_{0} \压裂{(a + h) - f (a)} {h}。$

(审查<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/limits-of-functions/" class="wiki_link" title="双面的限制" target="_blank">双面的限制)。如果这个极限存在并且是有限的，那么我们说

$f ' (a) = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{(a + h) - f (a)} {h}。$

求导数 $x ^ 2$在 $x = 1$使用第一原理。

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回答

在这里 $f (x) = x ^ 2$而且 $c = 1$．利用第一原理，我们可以写

${数组}{l l} \ \开始压裂{文本\ d {}} {x文本\ d {}} f (x) & = \ lim_ h \{0} \压裂{(1 + h) - f (1)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{(1 + h) ^ 2 - (1) ^ 2} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{1 + 2 h + h ^ 2 - 1} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{2 h + h ^ 2} {h } \\ & = \ lim_ h \ {0} (2 + h) \ \ & = 2。\ _\square \\ \end{array}$

求导数 $x ^ n$在 $x = 2$利用第一原理，其中 $n \ \ mathbb {n}$．

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回答

在这里 $f (x) = x ^ n$而且 $c = 2$．利用第一原理，我们可以写

${数组}{l l} \ \开始压裂{文本\ d {}} {x文本\ d {}} f (x) & = \ lim_ h \{0} \压裂{(2 + h) - f (2)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{(2 + h) ^ n - (2) ^ n} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{2 ^ n + \ binom {n} {1} 2 ^ {n} \ h + cdot \ binom 2 ^ {n} {2} {2} \ cdot h ^ 2 + \ cdots + h ^ n - 2 ^ n} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{\ binom {n} {1} 2 ^ {n} \ h + cdot \ binom 2 ^ {n} {2} {2} \ cdot h ^ 2 + \ cdots + h ^ n} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \离开[\ binom {n} {1} 2 ^ {n} + \ binom 2 ^ {n} {2} {2} \ cdot h + \ cdots + h ^ {n} \右]\ \ & = n2 ^ {n}。\ \ _ \广场结束数组{}$

求导数 $\ sin (x)$在 $x =一个$利用第一原理，其中 $一个\ \ mathbb {R}$．

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回答

在这里 $F (x) = \sin x$而且 $c =一个$．利用第一原理，我们可以写

${数组}{l l} \ \开始压裂{文本\ d {}} {x文本\ d {}} f (x) & = \ lim_ h \{0} \压裂{(a + h) - f (a)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{\罪(a + h) - \罪(a)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{罪\ \因为h + \因为一个罪\ h -罪\}{h } \\ & = \ lim_ h \{0} \左(罪\ \境(\压裂{\ h - cos} {h} \境)+ \因为一个\“名人老大哥(\压裂{罪\ h} {h} \境)\ ] \\ & = \ 罪\ lim_ h \{0} \境(\压裂{\ h - cos} {h} \境)+ \因为\ lim_ h \{0} \境(\压裂{罪\ h} {h} \境 ) \\ & = \ 罪\ cdot (0) + \ cos\cdot (1) \\ & = \cos a.\ _\square \end{array}$

上面的例子演示了计算导数的方法。如果你知道一些标准的导数，比如 $x ^ n$而且 $\ sin (x),$你可以意识到上面得到的值就是在点处的导数的值 $x = 2$而且 $x =,$分别。事实上，所有的标准导数和规则都是用第一性原理推导出来的。你们可以试着用这个原理来做进一步的练习来熟悉通过极限求导的方法。

考虑一个函数 $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}，$在哪里 $a, b \in \mathbb{R}$．一般来说，导数只定义在区间内的值 $(a, b)$．让 $c \ (a, b)$是要测量变化速率的数字。

首先考虑区间 $(c, c+ \epsilon)，$在哪里 $\ε$number任意地接近零。让 $0 < \delta < \epsilon$．

变动率 $(m)$是由 $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$．对于给定的值 $\δ$的变化率 $c$来 $c + \δ$可以给出为

$m = \压裂{f (c + \δ)- f (c)} {(c + \δ)- c}。$

作为 $\ε$接近 $0，$那么 $\δ$它可以表示为右极限值

$m_ + = \ lim_ {h \ 0 ^ +} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h}。$

这个极限，如果存在，叫做点的右导数 $c$．类似地，我们可以定义左导数如下:

$m_ - = \ lim_ {h \ 0 ^ -} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h}。$

这个函数 $f$据说是可诱导的在 $c$如果 $m_ + = m_ -$．这个相等的值叫做的导数 $f$在 $c$．

的极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h}$，如果它存在(通过符合上述条件)，则为的导数 $f$在 $c$求这种极限导数的方法叫做第一性原理导数．

通常，极限也表示为 $文本\压裂{\ d{}}{\文字d} {x} f (x) = \ lim_ {x \ c} \压裂{f (x) - f (c)}{得到}$．

在需要确定一个未知函数的极限，有时需要确定函数本身的情况下，通常使用第一性原理求导。

函数满足以下方程:

$h \ \ lim_{0} \压裂{(4小时)+ f (2 h) + (h) + f \大(\压裂{h}{2} \大)+ f \大(\压裂{h}{4} \大)+ f \大(\压裂{h}{8} \大)+ \ cdots} {h} = 64。$

考虑到 $f (0) = 0$这 $f (0)$存在,确定 $f (0)$．

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乍一看，这个问题似乎根本不涉及第一性原理，而仅仅是关于极限的性质。

实际上，它确实涉及到极限的一个简单性质但关键是第一原理的应用。也许现在不太清楚，我们先把它的导数写出来 $f$在 $0$使用第一原理:

$\{对齐}开始f (0) & = \ lim_ h \{0} \压裂{f (0 + h) - f (0)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{f (h) - (0)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{f (h)} {h}。结束\{对齐}$

这是给定极限下项的一般形式。这暗示着可能与给定方程中的每一项都有某种联系 $f(0)。$让我们考虑一下极限 $h \ \ lim_{0} \压裂{f (nh)} {h}$,在那里 $n \ \ mathbb {R}。$这很简单。让 $t = nh$．当 $H \到0,t \到0$，因此给定的极限变成 $t \ \ lim_{0} \压裂{nf (t)} {t} = n \ lim_ t \{0} \压裂{f (t)} {t},$这只不过是 $n f (0)$．这可能会让接下来的步骤不仅显而易见，而且简单易行:

$h \ \开始{对齐}\ lim_{0} \压裂{(4小时)+ f (2 h) + (h) + f \大(\压裂{h}{2} \大)+ f \大(\压裂{h}{4} \大)+ f \大(\压裂{h}{8} \大)+ \ cdots} {h} = & \ lim_ h \{0} \压裂{f (4 h)} {h} + \压裂{f (2 h)} {h} + \压裂{f (h)} {h} + \压裂{f \大(\压裂{h}{2} \大)}{h} + \ cdots \ \ = & 4 f ' (0) + 2 f (0) + f(0) + \压裂{1}{2}f (0) + \ cdots \ \ = & f”(0)\离开(4 + 2 + 1 + \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{4}+ \ cdots \) \ \ = & f(0) \乘以8 \ \ = &64。结束\{对齐}$

因此，值 $f (0)$是8。 $_ \广场$

一个函数 $f$满足以下关系:

$f (mn) = (m) + f (n) \四\原则,m, n \ \ mathbb {R} ^{+}。$

考虑到 $f (1) = c$(存在且有限)，求的非平凡解 $f (x)$．

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回答

前面的问题给了我们必要的引子:

$\ displaystyle f ' (1) = \ lim_ h \{0} \压裂{(1 + h) - f (1)} {h} = p \(文本\ p{称之为})。$

让我们分析一下给定的方程。为 $m = 1,$方程变得 $F (n) = F (1) + F (n) \表示F (1) =0$．此外，为了找到函数，我们需要正确地使用给定的信息。的导数表达式 $x = 1$当我们对给定的表达式求导并让其中一个变量等于1时最有可能出现。

但是等等，我们实际上不知道函数的可微性。我们要么证明它，要么建立一个类似于 $f (1)$从给定的关系。这意味着无论如何我们都必须使用第一原理!

让 $m = x$而且 $N = 1 + \frac{h}{x}，$在哪里 $x$而且 $h$是实数。然后我们有

$f \境(x \离开(1 + \压裂{h} {x} \) \境)= f (x) + f \离开(1 + \压裂{h} {x} \) \意味着f (x + h) - f (x) = f \离开(1 + \压裂{h} {x} \右)。$

两边同时除以 $h$,让 $h$方法 $0$：

$h \ \ lim_{0} \压裂{f (x + h) - f (x)} {h} = \ lim_ h \{0} \压裂{f \离开(1 + \压裂{h} {x} \右)}{h}。$

方程左边表示 $f (x)$如果右边的极限存在，那么左边的极限也必须存在，因此我们可以求值 $f (x)$．考虑等式的右边:

$h \ \ lim_{0} \压裂{f \大(1 + \压裂{h} {x} \大)}{h} = \ lim_ h \{0} \压裂{f \大(1 + \压裂{h} {x} \大)- 0}{h} = \压裂{1}{x} \ lim_ h \{0} \压裂{f \大(1 + \压裂{h} {x} \大)- f(1)}{\压裂{h} {x}}。$

最后一个表达是just $\压裂{1}{x}$乘以导数在1处 $\大($通过使用替换 $t = \压裂{h} {x} \大)$，这是已知存在的，这意味着 $f (x)$的存在。因此, $f (x) = \压裂{p} {x}$．

这是一个标准微分方程的解，超出了本维基百科的范围。自 $f (1) = 0$ $（$把 $m = n = 1$在给定的方程中 $)，$函数是 $\displaystyle \ boxxed {f(x) = \text{ln} x}。$ $_ \广场$

注:如果没有给定函数在0处可微，则不能得出此结论 $f (x) =残雪$．(见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/functional-equations/" class="wiki_link" title="函数方程" target="_blank">函数方程)。

考虑分段函数

$f (x) = \{病例}开始x - x ^ 2 & & < 0 \ \ 0 & & x = 0 \ \ \ sin (x) & & x > 0。\{病例}结束$

评估 $f (0)$．

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回答

$f (0)$意味着的导数 $f (x)$在点 $x = 0$．现在人们必须意识到，自从 $f (x)$是分段定义的函数，有可能吗 $F (a+0^+) F (a+0^ -)$而且 $f (a)$可以给出不同的公式。因此，求导时，必须从两边求导，并检查它们是否相等。

所以，使用wiki中的术语，我们可以写

${对齐}m_ + & = \ \开始lim_ {h \ 0 ^ +} \压裂{f (0 + h) - f (0)} {h } \\ & = \ lim_ {h \ 0 ^ +} \压裂{\罪(0 + h) - (0)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{罪\ h} {h } \\ & = \ 盒装{1}。结束\{对齐}$

为 $f (0 + h)$在哪里 $h$是一个小正数，我们会使用函数定义为 $x > 0$自 $h$是正的，因此是方程。

同样,我们有

${对齐}m_ - & = \ \开始lim_ {h \ 0 ^ -} \压裂{f (0 + h) - f (0)} {h } \\ & = \ lim_ {h \ 0 ^ -} \压裂{(0 + h) ^ 2 - (0)} {h } \\ & = \ lim_ h \{0} \压裂{h ^ 2} {h } \\ & = \ 盒装{0}。结束\{对齐}$

现在,对于 $f (0 + h)$在哪里 $h$是一个小的负数，我们会使用函数定义为 $x < 0$自 $h$是负的，因此是方程。

但是,等等, $m_ + \ neq m_ -$！!它意味着函数的导数在 $0$根本不存在!!

所以这个例子是用来证明第一原理也可以用来检验分段函数的可微性，这个在另一个维基上有详细讨论。这类函数必须先检验其连续性，然后再检验其可微性。另外，如果我们知道函数是可微的，实际上就没有必要同时求值了 $m_ +$而且 $m_ ($因为两者必须相等且有限因此只需要求其中一个的值，哪个更容易计算导数。

所以，答案是 $f (0)$不存在。 $_ \广场$