立方判别

我们可以计算多项式的任意次幂的判别式。例如，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-discriminant/" class="wiki_link" title="二次判别" target="_blank">二次判别是由 $\ delta = b^2 - 4ac$ ．但是对于高次多项式，它会变得更复杂。

三次多项式的判别式 $Ax ^3 + bx^2 + cx + d$ 是由

$\Delta_3 = b^ 2c ^2 - 4ac^3 - 4b^ 3d - 27a^ 2d ^2 + 18abcd。$

如果 $\Delta_3 > 0$ ，则方程有三个不同的实根。
如果 $\Delta_3 = 0$ ，则方程有重根，且所有的根都是实根。
如果 $\Delta_3 < 0$ ，则方程有一个实根和两个非实根复共轭根。

或者，我们可以计算出三次行列式的值如果我们知道多项式的根。让 $β\α,\$ 而且 $\γ$ 表示某三次多项式的根，则其判别式等于

$\ Delta_3 = ^ 4(\α-β\)^ 2(β\ \γ)^ 2(\γ- \α)^ 2 \;．$

下面是一个需要我们使用三次判别的好例子:

$f (x) = x ^ {3} - x ^ {2} 2 x + 1$

设上述函数的零点为 $β\α,\$ 而且 $\γ。$

找到 $F '(\alpha)\乘以F '(\beta)\乘以F '(\gamma)$

注意: $f (x)$ 表示的导数 $f (x)。$

判别式的定义

对于多项式来说 $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 有根 $x_1、x_2 \ ldots x_n$ (计算多重性)，它的判别是

$δ= an \ ^ {2 - 2} \ prod_ {1 \ leq i < j \ leq n} (x_i-x_j) ^ 2。$

注意一些事情:

当有重根时，判别式就消失了。
如果的系数 $P (x)$ 都是实数，判别式总是实数。
如果所有根都是实数且不同，则判别式总是正的。

对于多项式是三次的情况，即。 $P (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 +残雪+ d,$ 我们得到了 $\δ= ^ 4 (x_1-x_2) ^ 2 (x_2-x_3) ^ 2 (x_3-x_1) ^ 2$ ．

计算三次多项式的判别式

因为判别式是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/symmetric-polynomials-definition/" class="wiki_link" title="对称的" target="_blank">对称的在多项式的根，我们可以表示为初等对称多项式，即的系数 $P (x)$ ．虽然有一个一般的方法来推导任何多项式的判别式，这是一个初等和代数的方法。

通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/" class="wiki_link" title="Vieta的公式" target="_blank">Vieta的公式我们有

$\{对齐}开始x_1 + x_2 + x_3 & = - \ dfrac {b}{一}\ \ \ \ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 & = \ dfrac {c}{一}\ \ \ \ x_1x_2x_3& = - \ dfrac d{}{}。结束\{对齐}$

让我们展开判别式:

$大(\ \δ= ^ 4 \大(x_1x_2 ^ 2 + x_2x_3 ^ 2 + x_3x_1 ^ 2 \大)——\大(x_1 ^ 2 x_2 + x_2 ^ 2 x_3 + x_3 ^ 2 x_1 \大)\大)^ 2。$

让 $m = x_1x_2 ^ 2 + x_2x_3 ^ 2 + x_3x_1 ^ 2$ 而且 $n = x_1 ^ 2 x_2 + x_2 ^ 2 x_3 + x_3 x_1 ^ 2$ ,然后 $\δ= ^ 4 (mn) ^ 2$ ．我们不能直接计算 $米$ 而且 $n$ ，但既然他们是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cyclic-polynomials/" class="wiki_link" title="循环多项式" target="_blank">循环多项式的初等对称多项式 $米$ 而且 $n$ 对称的 $x_1、x_2$ 而且 $x_3$ 因此可以用的系数来表示 $P (x)$ ．那么，让我们找到它们:

$\{对齐}开始m + n = x_1x_2 (x_1 + x_2) + x_2x_3 (x_2 + x_3) + x_3x_1 (x_3 + x_1 ) \\\\ &=( x_1 + x_2 + x_3) (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) 3 x_1x_2x_3 \ \ \ \ & = \ dfrac{公元前+ 3广告}{^ 2}。结束\{对齐}$

理由是 $锰$ 需要更繁琐的展开:

$\{对齐}开始mn = & \颜色{# 3 d99f6} {(x_1x_2) ^ 3 + (x_1x_3) ^ 3 + (x_2x_3) ^ 3} + 3 (x_1x_2x_3) ^ 2 + x_1x_2x_3 \大(\颜色{# D61F06} {x_1 ^ 3 + x_2 ^ 3 + x_3 ^ 3} {# 3 d99f6} \颜色\大)\ \颜色\ \ = & \ {# 3 d99f6} {(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) ^ 3 - 3 (x_1 + x_2 + x_3) (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) (x_1x_2x_3) + 3 (x_1x_2x_3) ^ 2} + 3 (x_1x_2x_3) ^ 2 \ \ &{\颜色{# 3 d99f6} {+ x_1x_2x_3 \大(}}\颜色{# D61F06} {(x_1 + x_2 + x_3) ^ 3 - 3 (x_1 + x_2 + x_3) (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) + 3 x_1x_2x_3} {# 3 d99f6} \颜色\大)\ \ \ \= & \ dfrac {c ^ 3} {^ 3} - \ dfrac {3 bcd} {^ 3} + \ dfrac {6 d ^ 2} {^ 2} + \ dfrac ^ 3 d {b} {^ 4} - \ dfrac {3 bcd} {^ 3} + \ dfrac {3 d ^ 2} {^ 2} \ \ \ \ = & \ dfrac{交流^ 3-6abcd + 9 a ^ 2 d b ^ ^ 2 + 3 d}{^ 4}。结束\{对齐}$

最后，使用恒等式 $(mn) ^ 2 = (m + n) ^ 2-4mn:$

$\开始{对齐}\三角洲& = ^ 4 (mn) ^ 2 = ^ 4 \离开(\ dfrac{公元前+ 3广告}{^ 2}\右)^ 2-4a ^ 4 \离开(\ dfrac{交流^ 3-6abcd + 9 a ^ 2 d b ^ ^ 2 + 3 d} {^ 4} \) \ \ \ \ & ^ = b 2 c ^ 2-6abcd + 9 ^ ^ 2 d 2-4ac ^ 3 + 24 abcd-36a ^ 2 d ^ 2-4b ^ 3 d \ \ \ \ & = \盒装^ {b 2 c ^ 2-4ac ^ 3-4b d-27a ^ 3 ^ 2 d ^ 2 + 18 abcd}。结束\{对齐}$

有关……

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