临界点

这个函数有临界点 $x = 1$和 $x = 3$

一个临界点连续函数的 $f$是导数为零或无定义的点。临界点是图上函数变化率发生变化的点——从增加到减少的变化，或者是凹的变化，或者是一些不可预测的变化。临界点对于确定是有用的极值和解决优化问题．

一个连续函数 $f$与 $x$在定义域上有一个临界点 $x$如果满足以下任一条件:

1. $f (x) = 0;$
2. $f (x)$是未定义的。

A的临界点可微函数 $f$是一个导数为0的点。

找出所有的临界点 $F (x) = x^4 - 4x^3 + 16x$．

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的导数 $f$是

$F '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 16 = 4(x + 1)(x - 2)^2$

所以在点处导数为零 $x = 1$和 $x = 2$．自 $f '$定义在所有实数上，函数的唯一临界点是 $x = 1$和 $x = 2。\ _ \广场$

一个局部极值函数的最大值或最小值是在某个区间内 $x$值。一个拐点是函数上凹度变化的一点(二阶导数的符号变化)。虽然任何局部极小值或极大值点都必须是临界点，但一个点可以是拐点而不是临界点。

1. 临界点是局部极大值，如果函数在该点由递增变为递增。临界点是局部极小值，如果函数在该点由递增变为递增。
2. 临界点是一个拐点，如果函数在该点变凹。
3. 临界点可能两者都不是。这可能表示函数图中的垂直切线或“锯齿”。

的一阶导数试验提供用于确定某个点是局部最小值还是最大值的方法。如果函数是二次可微的二阶导数试验也可以帮助确定临界点的性质。但是，如果二阶导数有值 $0$在这一点上，临界点可以是极值点也可以是拐点。

对以下功能的关键点进行分类:

$f (x) = \{病例}开始1 - (x + 1) ^ 2 x < 0 \ \ 2 x & 0 & \ le x \勒1 \ \ 3 - (x - 2) ^ 2 & 1 < x \ le 2 \ \ 3 + x (x - 2) ^ 3 & > 2。\{病例}结束$

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的导数 $f$是

$f (x) = \开始{病例}2 (x + 1) x < 0 \ \ 2 & 0 & le x le 1 \ \ 2 \ \ (x - 2) & 1 < x \ le 2 \ \ 3 (x - 2) ^ 2 & x > 2。\{病例}结束$

注意，导数是有价值的 $0$在点 $x = 1$和 $x = 2$．在 $x = 0$，导数没有定义，因此 $x = 0$是临界点。在 $x = 1$，其导数为 $2$当从左边接近时 $2$当从右边逼近时，因为导数是定义的 $（$和等于 $2 \ 0),$ $x = 1$不是临界点。

临界点 $x = 1$是一个局部最大值．
临界点 $x = 0$是一个局部最小值．
临界点 $x = 2$是一个拐点． $_ \广场$

• 拐点
• 局部和绝对极值
• 优化问题
• 二阶导数试验