给定一个复数
z=一个+b我(一个,b∈R),复共轭的
z,表示
z,是复数吗?
z=一个−b我。共轭复数有相同的实分量
一个,但虚分量的符号相反
b。
复共轭的性质:
-
z+w=z+w
-
z−w=z−w
-
z⋅w=z⋅w
-
(wz)=wz
-
z=z,也就是共轭的共轭
z是
z。
-
z=z,当且仅当
z是真实的。
-
∣z∣2=z⋅z=z⋅z,在那里
∣z∣表示的模
z。
-
zn=(z)n
上的操作
z和
z:
- 一)
z+z=(一个+我b)+(一个−我b)=2一个
(∈R)
- b)
z−z=(一个+我b)−(一个−我b)=2b我(纯虚数)
- c)
z⋅z=(一个+我b)(一个−我b)=一个2−一个b我+一个b我−b2我2=一个2+b2
(我2=(−1
)2=−1)
基于这些运算,我们可以添加更多的共轭性质:
9.
z+z=2再保险(z),实数的两倍
z。
10.
z−z=2即时通讯(z)的虚元的两倍
z。
为什么共轭?
共轭的需要来自于这样一个事实
我2=−1。这意味着方程有两个根,即
我和
−我。
这告诉我们,从实数的角度来看,两者是无法区分的。例如,对于一个多项式
f(x)带实系数,
f(z=一个+b我)=0一个解当且仅当它的共轭也是一个解
f(z=一个−b我)=0。这意味着它们在实数坐标系中是基本相同的。
共轭的一个重要之处在于复数与其共轭的乘积是实数!(参见上面的操作c)。)这在简化复杂表达式时会派上用场。这就像把一个理性的表达合理化。让我们看一个例子来理解我们的意思。
执行必要的操作来放置
5+2我4+3.我来
一个+b我(一个,b∈R)的形式。
分子和分母同时乘以分母的共轭,类似于对表达式进行合理化:
5+2我4+3.我⇒一个=5+2我4+3.我⋅5−2我5−2我=52+22(4+3.我)(5−2我)=2920−8我+15我−6我2=2926+297我=2926,b=297。□
让我们看更多的例子来加强我们的理解。
执行必要的操作来放置
(4+5我2−3.我)(1−3.我4−我)来
一个+b我(一个,b∈R)的形式。
通过必要的运算,利用复数及其共轭的性质,我们得到
(4+5我2−3.我)(1−3.我4−我)=(4+5我2−3.我)⋅(1−3.我4−我)=4+5我2−3.我⋅1−3.我4−我=4−5我2+3.我。1+3.我4+我=19+7我5+14我。
使用合理化因素
19−7我简化:
19+7我5+14我⋅19−7我19−7我=410193.−41023.1我。□
执行必要的操作来放置
1−5x我−3.x+3.+我3.我来
一个+b我(一个,b∈R)的形式。
合理化每一项并总结共同的项,我们有
1−5x我−3.x+3.+我3.我=1−5x我−3.x⋅1+5x我1+5x我+3.+我3.我⋅3.−我3.−我=(1+25x2−3.x−15x2我)+(109我+3.)=(1+25x2−3.x−1+25x215x2我)+(109我+103.)=(1+25x2−3.x+103.)+(1+25x2−15x2我+109我)=10+250x2−3.0x+3.+75x2+(10+250x2−150x2+9+225x2)我。□