碱公式的变化

的基料配方的改变用于重写对数运算作为取新底数的对数的分数。

碱基公式的变化\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

换底公式最常见的用途是在计算器上计算对数，当时唯一可用的对数运算是\(\log_{10}(\cdot)\)和\(\ln(\cdot).\)换底公式还可以用来简化对数运算。

许多科学计算器只有两个对数运算可用:\(\log_{10}(\cdot)\) \((\)通常显示为\(\log)\)和自然对数\((\)带基数\(e)，\) \(\ln(\cdot).\)因此，你不能直接在这个计算器上计算对数运算，除非它有基数\(10\)或基数\(e.\)。基数公式的变化允许你重写任何对数运算，以\(10\)或\(e，\)为基数，允许你在计算器上计算对数。

在计算器上使用\(\boxed{\log}\)按钮计算\(\log_4(13)\)。

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回想一下，大多数计算器上的\(\boxed{\log}\)按钮表示\(\log_{10}(\cdot).\)应用更改基数公式:

\ [\ log_4(13) = \压裂{\ log_ {10} (13)} {\ log_ {10} (4)} \]

然后，将方程右侧的运算输入计算器，得到结果:

\[\log_4(13) \约1.850219859。广场\ _ \ \]

改变底数公式有时可以用来简化对数运算。

简化\ (\ log_{32}{243} \)。

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我们可以看到，\(32\)是\(2.\)的幂，应用换底公式:

\[开始\{对齐}\ log_{32}{243} & = \压裂{\ log_ {2} {243}} {\ log_ {2} {32 }} \\ &= \ 压裂{\ log_{2}{243}}{5} \ \ & = \压裂{1}{5}\ log_{2}{243}。\ \ \{对齐}结束\]

现在应用对数的指数性质:

\[开始\{对齐}\ log_ {32} {243} & = \ log_{2}{243 ^ \压裂{1}{5 }} \\ &= \ log_{2}{3}。\ _\square \end{align}\]

利用其他几种方法推导了基底变换公式对数运算性质．

推导出改基公式:\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

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设\(a，\) \(b，\)和\(c)为正实数。

1. Let \(\log_a{b} = x.\)

2. 改写成指数形式:\(b = a^x.\)

3. 取等式两边的\(\log_c{b} = \log_c{a^x}.\)

4. 应用对数的指数属性:\(\log_c{b} = x\log_c{a}.\)

5. 方程两边除以\ (\ log_c{} \): \(\压裂{\ log_c {b}} {\ log_c{一}}= x \)。

因此，\(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}。\ \ _ \广场)