双射函数gydF4y2Ba

在组合学、数论和其他领域中，常用的证明方法是使用gydF4y2Ba双射gydF4y2Ba来证明两个表达式相等。证明这种形式的公式gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$，这个想法是选择一组gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$元素和集合gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$元素之间的双向映射gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

请注意gydF4y2Ba重复计算gydF4y2Ba证明技术可以看作是这种技术的一个特例。重复计数技术遵循同样的程序，除了gydF4y2Ba $S = TgydF4y2Ba$，所以双射就是恒等函数。这里有一些例子，公式的两边被证明计数集不一定是相同的集合，但可以证明具有相同的大小。gydF4y2Ba

给出一个这样的公式gydF4y2Ba $a = bgydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是有限的正整数取决于一些变量，下面是如何证明公式:gydF4y2Ba

1. 发现一套gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $| | = agydF4y2Ba$，一套gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $| | = bgydF4y2Ba$．这些集合通常不会是奇异的:有时它们在问题中是清晰的，有时它们是众所周知的集合，由公式中的数量计算。例如,如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是二项式系数还是二项式系数的和gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$将是更大集合的子集的集合，或从集合中选择特定对象的方法。gydF4y2Ba
2. 想办法把元素联系起来gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$的元素gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$，反之亦然。有时其中一项在开始时比另一项更容易。用它来构造一个函数gydF4y2Ba $f \冒号S \到TgydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $T \ S)。gydF4y2Ba$
3. (可选)确认gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是对小变量值的双射，通过显式地写出来。gydF4y2Ba
4. 证明gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是一个双射影，或者是通过显示它是一对一的和映上的，或者(通常更容易)通过构造的逆gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

证明二项式系数对称:gydF4y2Ba ${n\choose k} = {n\choose n-k}。gydF4y2Ba$

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我们可以证明二项式系数是对称的:gydF4y2Ba ${n\choose k} = {n\choose n-k}gydF4y2Ba$通过一个双射。自gydF4y2Ba $n \选择kgydF4y2Ba$计数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$元素的子集gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$元组gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $n \ n - k选择gydF4y2Ba$计数gydF4y2Ba $(n - k)gydF4y2Ba$元的子集gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$，证明包括找到这两类子集之间的一一对应。gydF4y2Ba

最自然的生产方法gydF4y2Ba $(n - k)gydF4y2Ba$元素的子集gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$元素子集是取补数。所以我们gydF4y2Ba $S_igydF4y2Ba$是…的集合gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$元的子集gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$以及定义gydF4y2Ba $\开始{对齐}f_k \结肠&S_k \ S_ {n - k} \ \ f_k (X) =郑清奎- X \{对齐}结束gydF4y2Ba$要证明这是一种双重否定很容易:事实上，gydF4y2Ba $f {n - k}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $f_kgydF4y2Ba$,因为gydF4y2Ba $S - (S - x) = xgydF4y2Ba$．所以gydF4y2Ba $S_kgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $S_ {n - k}gydF4y2Ba$具有相同数量的元素;也就是说,gydF4y2Ba ${n\choose k} = {n\choose n-k}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

为了说明，这里是双射gydF4y2Ba $₂gydF4y2Ba$当gydF4y2Ba $n = 5gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $k = 2:gydF4y2Ba$ $\开始{对齐}\ {1,2 \}& \ mapsto \{3、4、5 \}\ \ \ {1,3 \}& \ mapsto \{2、4、5 \}\ \ \ {1,4 \}& \ mapsto \{2、3、5 \}\ \ \ 5 \ {1,}& \ mapsto \{2、3、4 \}\ \ \ {2,3 \}& \ mapsto \{1、4、5 \}\ \ \ {2,4 \}& \ mapsto \{1、3、5 \}\ \ \ 5 \ {2,}& \ mapsto \ {1, 3, 4 \} \ \ \ {3 4 \} & \ mapsto \{1、2、5 \}\ \ \{3、5 \}& \ mapsto \ {1, 2, 4 \} \ \ \ {4 5 \} & \ mapsto \ \}{1、2、3。结束\{对齐}gydF4y2Ba$因为这给出了一个一对一的对应关系gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$元子集和gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$a的元素子集gydF4y2Ba $5gydF4y2Ba$-element集合，这表明gydF4y2Ba ${5\choose 2} = {5\choose 3}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一个关键的结果gydF4y2Ba欧拉φ函数gydF4y2Ba是gydF4y2Ba $\sum_{d|n} \phi(d) = n。gydF4y2Ba$以下是使用双射的证明:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $S = \{大| (a, d): d \ n, 1 \ \勒维,文本\ {gcd} (a, d) = 1 \}gydF4y2Ba$．然后是元素的个数gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$只是gydF4y2Ba $\ sum_ {d | n} \φ(d)gydF4y2Ba$．现在我们gydF4y2Ba $T = \{1,2，\ldots,n \}gydF4y2Ba$．为了完成证明，我们必须构造一个两者之间的双射gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

定义gydF4y2Ba $f \冒号S \到TgydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $f \大((a, d) \大)= \压裂{一}dgydF4y2Ba$．定义gydF4y2Ba $g \冒号T \到SgydF4y2Ba$如下:gydF4y2Ba $g (b)gydF4y2Ba$为有序对gydF4y2Ba $\离开(\压裂{b}{\肾小球囊性肾病(b、n)}, \压裂{n}{\肾小球囊性肾病(b、n)} \右)。gydF4y2Ba$这是例行检查gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$是彼此的倒数，所以它们是双向射。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这是一个很好的证明，但对于学生来说可能不是很明显，他们可能不会马上理解函数在哪里gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$来自。最初的想法是考虑分数gydF4y2Ba $\frac1{n}， \frac2{n}， \ldots， \frac{n}{n}gydF4y2Ba$把它们降到最低。它们都是形式的gydF4y2Ba $d \压裂{一}{}gydF4y2Ba$为一个独特的gydF4y2Ba $(a, d) \ SgydF4y2Ba$．一组gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$是未还原分数分子的集合。的函数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$在证明中，分别由约化分数转化为未约化分数和未约化分数转化为未约化分数。gydF4y2Ba

几个经典的结果gydF4y2Ba分区gydF4y2Ba有涉及双射的自然证明。一个gydF4y2Ba分区gydF4y2Ba整数的表达式是一个正整数的和称为“部分”的表达式。顺序并不重要;由以不同顺序写的相同部分组成的两个表达式被认为是相同的分区。gydF4y2Ba

的分区数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$分成奇数部分等于gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$成不同的部分。例如,gydF4y2Ba $5+1 = 3+3 = 3+1+1+1 = 1+1+1+1+1+1 +1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $6 = 5+1 = 4+2 = 3+2+1gydF4y2Ba$，所以每一种有四种gydF4y2Ba $n = 6gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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目标是给出一个将一种分区转换为另一种分区的处方，然后表明该处方给出了一一对应(双射)。更自然的做法可能是先把一个部分分割成不同的部分，然后把它“分解”成一个奇怪的部分。最明显的做法是取一个偶数部分并将其重写为奇数部分的和，为了简单起见，最好使用相互相等的奇数部分。gydF4y2Ba

也就是说，取分区的部分，把它们写成gydF4y2Ba $2 ^一个bgydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是奇数。将每一部分重写为gydF4y2Ba $2 ^gydF4y2Ba$部分等于gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$．例如,对于gydF4y2Ba $n = 6gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $\{对齐}6日开始& = 3 + 3 \ \ 5 + 1 & = 5 + 1 \ \ 4 + 2 & =(1 + 1 + 1 + 1)+(1 + 1)\ \ 3 + 2 + 1 & = 3 + 1 + 1 + 1。结束\{对齐}gydF4y2Ba$为了证明这种对应是一对一的映上的，构造它的逆是最简单的。给定一个分区gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$把大小相同的部分分成一组，分成奇数部分。假设有gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$部分的大小gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$．然后编写gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$在二进制gydF4y2Ba $2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $aigydF4y2Ba$是截然不同的。改变gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$部分进gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$部分:gydF4y2Ba $2^{a_1}r + 2^{a_2}r + \cdots + 2^{a_k}rgydF4y2Ba$．例如,gydF4y2Ba $\开始{对齐}3 + 3 & = 2 \ cdot 3 = 6 \ \ 5 + 1 & = 5 + 1 \ \ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 & = 6 \ cdot 1 = (4 + 2) \ cdot 1 = 4 + 2 \ \ 3 + 1 + 1 + 1 & = 3 + 3 \ cdot 1 = 3 + (2 + 1) \ cdot 1 = 3 + 2 + 1。结束\{对齐}gydF4y2Ba$可以很容易地检查这是否将一个分区划分为不同的部分，以及这两个转换是否互为倒数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba加泰罗尼亚的数字gydF4y2Ba $C_n = \ frac1 {n + 1} \ binom {2 n} {n}gydF4y2Ba$数许多不同的物体;特别是加泰罗尼亚的数字gydF4y2Ba $C_ngydF4y2Ba$是序列集合的大小gydF4y2Ba $(a_1, \ ldots现代{2 n})gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $A_i = pm1gydF4y2Ba$和部分和gydF4y2Ba $A_1 + a_2 + cdots + a_kgydF4y2Ba$总是非负的。通常，表示加泰罗尼亚数字计数某一特定集合的最佳方法是在该集合和已知的加泰罗尼亚数字计数的另一集合之间提供一个双射。gydF4y2Ba

取gydF4y2Ba $2 ngydF4y2Ba$圆周上等间距的点。这些点有多少种连接方式gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$不相交的线段?gydF4y2Ba

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有gydF4y2Ba $C_ngydF4y2Ba$做这个的方法。数量的点gydF4y2Ba $1、2、\ ldots, 2 ngydF4y2Ba$按顺序绕圈。让gydF4y2Ba $a_k = 1gydF4y2Ba$如果点gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$连接到一个下标较高的点，并且gydF4y2Ba $－1gydF4y2Ba$如果不是。那么就不难检查这个序列的部分和总是非负的。这提供了一个发送集合的函数gydF4y2Ba $S_ngydF4y2Ba$把点集合和集合联系起来的方法gydF4y2Ba $T_ngydF4y2Ba$的序列gydF4y2Ba $2 ngydF4y2Ba$的副本gydF4y2Ba $下午\ 1gydF4y2Ba$非负部分和。gydF4y2Ba

逆函数的构造并不难;给定一个序列gydF4y2Ba $T_ngydF4y2Ba$，找到序列的一部分gydF4y2Ba $1,- 1gydF4y2Ba$．把这两点连接起来。现在忘掉序列的这一部分，找另一个副本gydF4y2Ba $1,- 1gydF4y2Ba$和重复。同样，检查这两个函数是否互为倒数也是例行公事。gydF4y2Ba

例如，给定一个序列gydF4y2Ba $1, 1, 1, 1, 1, 1gydF4y2Ba$,连点gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$，然后忽略他们得到gydF4y2Ba $1, 1, 1, 1gydF4y2Ba$．然后我们把这些点连接起来gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $4gydF4y2Ba$(第一gydF4y2Ba $1,- 1gydF4y2Ba$两人),gydF4y2Ba $5gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$(第二条)。gydF4y2Ba

自gydF4y2Ba $T_ngydF4y2Ba$有gydF4y2Ba $C_ngydF4y2Ba$元素,那么gydF4y2Ba $S_ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

同样，现在还不清楚这种双射从何而来。在实践中，这类问题通常更容易首先决定答案是什么，通过注意对于较小的值gydF4y2Ba $n,gydF4y2Ba$路径的个数等于gydF4y2Ba $C_ngydF4y2Ba$,如。gydF4y2Ba $c = 1, c = 2, c = 5gydF4y2Ba$等。一旦确定了两个集合，唯一的问题就是如何识别其中一个gydF4y2Ba $2 ngydF4y2Ba$点与其中之一gydF4y2Ba $2 ngydF4y2Ba$的序列中的成员gydF4y2Ba $下午\ 1gydF4y2Ba$值。gydF4y2Ba

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