Bellman-Ford算法GydF4y2Ba

这个GydF4y2Ba贝尔曼-福特算法GydF4y2Ba是A.GydF4y2Ba图形GydF4y2Ba搜索算法找到给定源顶点和图表中的所有其他顶点之间的最短路径。该算法可用于加权和未加权的图形。GydF4y2Ba

喜欢GydF4y2BaDijkstra的最短路径算法GydF4y2Ba，Bellman-Ford算法保证在图中找到最短路径。虽然它比Dijkstra的算法慢，但Bellman-Ford能够处理包含负边缘权重的图形，因此它更加多样化。值得注意的是，如果图表中存在负周期，则没有最短路径。绕过负周期，无限次数将继续降低路径的成本（即使路径长度正在增加）。因此，Bellman-Ford还可以检测到作为一个有用特征的负循环。GydF4y2Ba

想象一个场景，你需要从家里去看棒球比赛。一路上，每一条路上都会发生两件事中的一件。首先，有时你使用的道路是收费道路，你必须支付一定的费用。其次，有时你认识的人住在那条街上（比如家人或朋友）。那些人可以给你钱来帮你重新装钱包。你需要穿过城市，你想带着尽可能多的钱穿过城市，这样你就可以买热狗了。鉴于你知道哪些道路是收费道路，哪些道路有人可以给你钱，你可以使用贝尔曼福特帮助规划最佳路线。GydF4y2Ba

棒球比赛路线的图形表示GydF4y2Ba

而不是你的家，一个棒球比赛和街道，无论是从你那里拿钱还是给你钱，贝尔曼福特看着加权图。该图是连接图中的不同顶点的边的集合，就像道路一样。边缘对它们具有成本。无论是积极的成本（如收费）或负成本（就像一个会给你钱的朋友）。所以，在上面的图形中，一个红色的箭头意味着你必须支付钱来使用那条路，绿色箭头意味着你可以获得钱来使用那条路。在图表中，源顶点是您的家，目标顶点是棒球体育场。在那里，您希望最大限度地提高所采取的负加权边的数量和绝对值。相反，您希望最小化您采取的正加权边的数量和值。Bellman-Ford这样做。GydF4y2Ba

Bellman-Ford算法在输入图上运行，GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$， 和GydF4y2Ba $|五|GydF4y2Ba$顶点和GydF4y2Ba $|E|GydF4y2Ba$边缘。单个源顶点，GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$也必须提供，因为Bellman-Ford算法是单源最短路径算法。但是，无需提供目标顶点，因为Bellman-Ford计算了最短的距离GydF4y2Ba全部GydF4y2Ba从源顶点的图表中的顶点。GydF4y2Ba

贝尔曼福特算法，如GydF4y2BaDijkstra算法GydF4y2Ba，使用原理GydF4y2Ba放松GydF4y2Ba找到越来越准确的路径长度。但是，贝尔曼福特，用这个过程解决两个主要问题：GydF4y2Ba

1. 如果存在负权重循环，那么对最短路径的搜索将永远持续下去。GydF4y2Ba
2. 选择糟糕的订购放松程度导致指数放松。GydF4y2Ba

检测GydF4y2Ba负周期GydF4y2Ba很重要，但该算法的主要贡献是其放松的排序。dijkstra的算法是一个GydF4y2Ba贪婪算法GydF4y2Ba选择尚未处理的最近顶点。另一方面，Bellman-Ford放松GydF4y2Ba全部GydF4y2Ba边缘。GydF4y2Ba

Bellman-Ford标记了图形的边缘GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba

$e_1，e_2，...，e_m，GydF4y2Ba$

那套边缘完全放松了GydF4y2Ba $|五|- 1GydF4y2Ba$时代，哪里GydF4y2Ba $|五|GydF4y2Ba$是图中的顶点数。GydF4y2Ba

Bellman-Ford算法的伪代码非常短。GydF4y2Ba

这是用伪代码编写的Bellman-Ford的高级描述，而不是实现。GydF4y2Ba

1 2 3 4 5 6 7GydF4y2Ba

对于v中的v:v.distance=无穷大v.p=无震源。对于从1到| v |-1的i，距离=0：对于E中的（u，v）：松弛（u，v）GydF4y2Ba

首先GydF4y2Ba为了GydF4y2Ba循环将图形中的每个顶点的距离设置为无穷大。稍后将源顶点更改为等于零。也在第一次GydF4y2Ba为了GydF4y2Ba循环，这GydF4y2BaPGydF4y2Ba每个顶点的值都设置为“无”。该值是指向前置顶点的指针，以便稍后创建路径。GydF4y2Ba

下一个GydF4y2Ba为了GydF4y2Ba循环只是通过每个边缘GydF4y2Ba（紫外线）GydF4y2Ba在GydF4y2BaEGydF4y2Ba和GydF4y2Ba放松一下GydF4y2Ba它。这个过程已经完成GydF4y2Ba|五|- 1GydF4y2Ba时代。GydF4y2Ba

放松是贝尔曼福特最重要的一步。它可以提高到任何给定顶点的距离的精度。松弛通过不断缩短顶点之间的计算距离来工作，将该距离与其他已知距离进行比较。GydF4y2Ba

以前面的棒球为例。比方说，我认为到棒球场的距离是20英里。然而，我知道体育场前拐角处的距离是10英里，我知道从拐角处到体育场的距离是1英里。很明显，从我到体育场的距离是GydF4y2Ba顶多GydF4y2Ba11英里。所以，我可以更新我的信念来反映这一点。这是一个放松的一个循环，它已经完成，直到找到最短路径。GydF4y2Ba

这是弛豫方程。GydF4y2Ba

放松方程式GydF4y2Ba

1 2 3 4GydF4y2Ba

放松（u，v）：如果v.distance>u.distance+weight（u，v）：v.distance=u.distance+weight（u，v）v.p=uGydF4y2Ba

请记住，到源顶点以外的每个顶点的距离都从无穷远开始，因此此算法的明确起点是源顶点之外的边。假设有一条边从源顶点出来，GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$，到另一个顶点，GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$.这个边缘的重量为5.所以，GydF4y2Ba如果GydF4y2Ba放松功能中的声明看起来像是这样的GydF4y2Ba $（s，a）：GydF4y2Ba$

$\ text {if} a.distance> s.distance +重量（s，a），GydF4y2Ba$

这与GydF4y2Ba

$\文本{if}\infty>0+5。GydF4y2Ba$

由于这当然是真的，因此执行其余函数。GydF4y2BaA.Distance.GydF4y2Ba设置为5，并且GydF4y2BaA.GydF4y2Ba被设定为GydF4y2BasGydF4y2Ba，源顶点。GydF4y2Ba

放松是安全的，因为它遵守“GydF4y2Ba三角不等式GydF4y2Ba。“另一种说法是”距离最短的方式GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $BGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$应该小于或等于最短的距离GydF4y2Ba $A.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $BGydF4y2Ba$加上最短的距离GydF4y2Ba $BGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$":GydF4y2Ba

$距离（A，C）\leq距离（A，B）+距离（B，C）。GydF4y2Ba$

对Bellman-Ford算法的一个非常简短的补充可以让它检测负循环，这一点非常重要，因为它完全不允许最短路径查找。在显示Bellman-Ford算法之后GydF4y2Ba在上面GydF4y2Ba已运行，需要再进行一个短循环以检查负重量循环。GydF4y2Ba

这段伪代码是作为算法的高级描述编写的，而不是实现。GydF4y2Ba

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10GydF4y2Ba

对于v中的v:v.distance=无穷大v.p=无震源。对于从1到| v |-1的i，距离=0：对于E中的（u，v）：松弛（u，v）为了（紫外线）在E:如果v.distance.>u、 距离+重量（u，v）: print "A negative weight cycle exists"

要证明贝尔曼·福特（Bellman Ford）的实力，有几个简单的步骤。第一步显示Bellman Ford的每次迭代都以适当的方式缩短每个顶点的距离。第二步表明，一旦算法终止，如果没有负权重循环，则得到的距离是完全正确的。最后一步表明，如果情况并非如此，则确实存在负重量循环，这证明了贝尔曼-福特负循环检测。GydF4y2Ba

第1步：GydF4y2Ba

宣称：GydF4y2Ba交互后GydF4y2Ba $我GydF4y2Ba$， 对所有人GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$,GydF4y2Ba $V.D.GydF4y2Ba$最多是每个路径的重量GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$最多使用GydF4y2Ba $我GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba

迭代前GydF4y2Ba $我GydF4y2Ba$，价值GydF4y2Ba $V.D.GydF4y2Ba$受到以下等式的约束GydF4y2Ba

$V.D \ Leq Min {W（P）：| P |\ Leq I - 1}，GydF4y2Ba$

哪里GydF4y2Ba $w（p）GydF4y2Ba$是给定路径的权重，并且GydF4y2Ba $| P |GydF4y2Ba$是该路径中的边的数量。随后的放松只会减少GydF4y2Ba $V.D.GydF4y2Ba$，所以这将永远是正确的。这个GydF4y2Ba $i^\text{th}GydF4y2Ba$迭代将考虑所有传入的边缘。GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$对于路径GydF4y2Ba $\列克一号GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba

上GydF4y2Ba $i^\text{th}GydF4y2Ba$迭代GydF4y2Ba

第2步：GydF4y2Ba

宣称：GydF4y2Ba如果输入图没有任何负重循环，那么Bellman-Ford将准确地达到每个顶点的距离GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$在来自源的图表中。GydF4y2Ba

需要注意的一点是，如果没有负权重循环，最短路径总是简单的。不会有任何重复的边缘。因此，每个最短路径都有GydF4y2Ba $|V^{*}|GydF4y2Ba$顶点和GydF4y2Ba $| v ^ {*} - 1 |GydF4y2Ba$边（取决于计算距离的顶点）。更一般地说，GydF4y2Ba $|V^{*}|\ LEQ | V |GydF4y2Ba$，所以每条路径都有GydF4y2Ba $\ LEQ | V |GydF4y2Ba$顶点和GydF4y2Ba $\ Leq | v ^ {*} - 1 |GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba

考虑最短的路径GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $UGydF4y2Ba$， 在哪里GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$是前身GydF4y2Ba $UGydF4y2Ba$.上GydF4y2Ba $（i-1）^\text{th}GydF4y2Ba$迭代，我们已经找到了从GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$最多使用GydF4y2Ba $I - 1GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba $v.distance.GydF4y2Ba$最多是此路径的权重。所以GydF4y2Ba $V.distance +重量（U，V）GydF4y2Ba$最多是距离GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $UGydF4y2Ba$.上GydF4y2Ba $i^\text{th}GydF4y2Ba$迭代，我们正在做的只是比较GydF4y2Ba $V.distance +重量（U，V）GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $u、 距离GydF4y2Ba$.所有可能发生的就是GydF4y2Ba $u、 距离GydF4y2Ba$变小。所以，之后GydF4y2Ba $i^\text{th}GydF4y2Ba$迭代，GydF4y2Ba $u、 距离GydF4y2Ba$最多是距离GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $UGydF4y2Ba$.因为它实际上是GydF4y2Ba较小GydF4y2Ba比最短的路径GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $UGydF4y2Ba$，它完全相等。GydF4y2Ba

步骤3：GydF4y2Ba

宣称：GydF4y2BaBellman-Ford可以报告负重循环。GydF4y2Ba

使用我们的GydF4y2Ba第2步GydF4y2Ba，如果我们回到所有的边缘，我们应该看到所有的GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$,GydF4y2Ba $v.distance =距离（s，v）GydF4y2Ba$.贝尔曼福特只会报告一个负周期GydF4y2Ba $v.distance \ gt U.distance +重量（U，V）GydF4y2Ba$，因此在负重循环中没有任何错误报告。GydF4y2Ba

如果存在负重循环，那么该循环的一个边缘可以GydF4y2Ba总是GydF4y2Ba放松（因为它可以随着我们围绕循环而减少）。想象有问题的边缘是边缘GydF4y2Ba $（紫外线），GydF4y2Ba$这意味着GydF4y2Ba $u、 距离+重量（u，v）GydF4y2Ba$实际上会小于GydF4y2Ba $v.distance.GydF4y2Ba$，它将触发负周期报告。GydF4y2Ba

如上所述GydF4y2Ba在上面GydF4y2Ba，Bellman-Ford制作GydF4y2Ba $|E|GydF4y2Ba$每次迭代都放松，有GydF4y2Ba $|五|- 1GydF4y2Ba$迭代。因此，最坏的情况是贝尔曼·福特公司在GydF4y2Ba $O\big（| V | \cdot | E | \big）GydF4y2Ba$时间。GydF4y2Ba

但是，在某些情况下，迭代的数量可能会低得多。对于某些图表，只需要一个迭代，因此在最佳案例方案中GydF4y2Ba $O\big（| E |\big）GydF4y2Ba$需要时间。只需要一轮放松只需要一轮放松的图形是一个图，其中每个顶点只能以线性方式连接到下一个图形，如下面的图形：GydF4y2Ba

这张图只需要放松一轮。GydF4y2Ba

另见：GydF4y2Ba大o符号GydF4y2Ba.GydF4y2Ba

Bellman-Ford的版本用于距离矢量路由协议。该协议决定如何在网络上路由数据数据包。距离方程（在网络中决定权重）是路由器的数量，一定路径必须通过以到达其目的地。GydF4y2Ba

对于互联网，具体而言，有许多协议使用Bellman-Ford。一个示例是路由信息协议。这是最古老的Internet协议之一，它通过限制跳数可以在进入目的地的路上进行跳数来防止循环。第二示例是内部网关路由协议。此专有协议用于帮助计算机在系统中交换路由数据。GydF4y2Ba