渐近线

一个渐近线是曲线收敛的直线。换句话说，曲线和它的渐近线无限接近，但它们从不相交。渐近线有各种各样的应用:它们被用于大O符号，它们是复杂方程的简单近似值，它们对图形理性方程．在这个维基中，我们将看到如何确定任何给定曲线的渐近线。

在大多数情况下，曲线的渐近线可以通过取函数没有定义的值的极限来找到。典型的例子是 $\ infty$而且 $- - - - - - \ infty,$或者说有理函数的分母等于零的点。渐近线通常是直线，除非另有说明。渐近线大致可分为三大类:水平的、垂直的和斜的。现在我们将了解每种渐近线的出现时间。

主要文章:垂直渐近线．

有渐近线的曲线最简单的例子之一是 $y = \压裂{1}{x}。$注意，这是一个有理函数。为了找到它的渐近线，我们取函数未定义的所有值的极限，即 $- - - - - - \ infty 0$而且 $\ infty。$为 $x \ rightarrow 0,$我们应该检查左右两边的极限。然后我们有

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow - \ infty} \压裂{1}{x} & = 0 ^ {-} \ \ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{1}{x} & = 0 ^ {+} \ \ \ lim_ {x \ rightarrow0 ^{-}} \压裂{1}{x} & = - \ infty \ \ \ lim_ {x \ rightarrow0 ^{+}} \压裂{1}{x} & = \ infty。结束\{对齐}$

因此我们可以得出以下结论:

(1)当 $x \ \ infty rightarrow,$曲线收敛于的较低和负侧 $x$设在。
(2)当 $x \ rightarrow \ infty,$曲线收敛于的上方和正侧 $x$设在。
(3)当 $x \ rightarrow0 ^ {-},$曲线无限向下，收敛于 $y$设在。
(4)当 $x \ rightarrow0 ^ {+},$曲线无限向上，收敛于正的一侧 $y$设在。

的渐近线 $y = \压裂{1}{x}$是 $x$- - - $y$相互重合。现在你们自己看一下曲线图，看看我们的结论是否与图相符。

您可能已经注意到，简单地绘制图形是找到渐近线的最佳方法，您是对的!所以，如果我们所处理的曲线的图形是熟悉的，只要画出这个图形，试着弄清楚渐近线的位置。对于复杂函数，用微分法估计它的图是有帮助的。让我们来看看一些案例，看看它是如何实现的。

下图是四个不同函数的图，我们可以看到，第一个图没有水平渐近线，第二个和第三个图有水平渐近线，第四个图有两个水平渐近线。你能识别出哪些因素影响一个函数的水平渐近线的数量吗?

$$ $Y = \frac{x^2+ 5x + 6}{x - 2}$

$$ $y = \压裂{1}{x}$

$$ $e ^ y = {- x}$

$$ $Y = \arctan x$

$$

• 在第一个图中，两个极限 $\displaystyle \lim _{x \to \infty} f(x)$而且 $\displaystyle \lim _{x \to - \infty} f(x)$不是有限的。这就是为什么第一个图中没有水平渐近线。
• 在第二个图中，只有一个极限是有限的，因此它只有一条水平渐近线。
• 在第三个图中，两个极限是常数，但两个极限是相等的，所以只有一条水平渐近线。
• 在第四个图中，两个极限都是有限的，而且两个极限是不同的，所以它有两条不同的水平渐近线。

你能想出一个有三条或三条以上水平渐近线的函数吗?

函数不可能有两条以上的水平渐近线。但是，我们也可以有曲线，也就是没有两条以上渐近线的函数。

的水平渐近线 $Y = \arctan x$．

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的水平渐近线 $Y = \arctan x$是 $Y = \frac{\pi} {2}$而且 $Y = - \frac{\pi} {2}$． $_ \广场$

• 例子

• 例子

曲线的渐近线是什么 $y = x (1 - x) e ^ ?$

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让 $y = f (x),$然后 $f (0) = 1$而且 $f (1) = 0,$也就是这条曲线经过的两个点 $(0,1)$而且 $(1,0)。$下面要得到的表格也会让我们对曲线的样子有一些了解。

的一阶和二阶导数 $f (x)$是

$\{对齐}开始f (x) & = - e ^ ^ x = x + (1 - x) e xe x ^ \ \ f (x) & = - e ^ x-xe x ^ ^ = - (1 + x) e x。结束\{对齐}$

让 $f (x) = xe ^ x = 0,$我们有 $x = 0。$
同时,让 $f (x) = (1 + x) e ^ x = 0$给了 $x = 1。$
然后检查迹象 $f (x)$而且 $f (x)$周围 $x = 1$而且 $x = 0,$我们得到了下面的表格:

$开始\{数组}{c c c c c c} x & \ cdots & 1 & \ cdots & 0 & \ cdots \ \ \ \ f (x ) & (+) & (+) & (+) & 0 & (-) \\ f (x ) & (+) & 0 & (-) &(-) & (-) \\ f (x) & \文本{(凹)}& \压裂{2}{e} & \文本{(凹)}& 1 & \文本{(凹)}\{数组}结束$

现在，检查极限 $f (x)$作为最后一步，我们

$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) =-\infty， \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) =0。$

因此，在区间内 $[1 \ infty)$曲线向下凹，在 $x = 0$的值无限下降 $x$方法 $\ infty。$
在这一期间 $(1) - \ infty$曲线向上凹，无限接近 $x$的值 $x$方法 $- - - - - - \ infty。$利用这些信息，我们可以大致画出 $y = f (x),$如下图所示:

因此，给定曲线的渐近线是 $x$设在。 $_ \广场$

这个图的渐近线是什么 $x ^ 2 + y = \压裂{1}{2 x} ?$

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让 $y = f (x),$那么域 $f (x)$都是实数吗 $x$这样 $x \ ne 0$因为分母不可能是零。此外,图 $y = f (x)$是否与原点对称 $f (- x) = - f (x)。$

现在，为了更好地理解这个图是什么样的，我们得到一阶和二阶导数 $f (x)$如下:

$\{对齐}开始f (x) & = \压裂{(2 x) \ cdot (2 x)——(x ^ 2 + 1) \ cdot 2} {(2 x) ^ 2} \ \ & = \压裂{2 x ^ 2 - 2} {4 x ^ 2} \ \ & = \压裂{(x + 1) (x - 1)} {2 x ^ 2} \ \ \ \ f (x) & = \压裂{(2 x) \ cdot (2 x ^ 2)——(x ^ 2 - 1) \ cdot (4 x)}{\离开(2 x ^ 2 \右)^ 2}\ \ & = \压裂{1}{x ^ 3}。结束\{对齐}$

让 $f (x) = \压裂{(x + 1) (x - 1)} {2 x ^ 2} = 0,$我们有 $x = 1$或 $x = 1。$
让 $f (x) = \压裂{1}{x ^ 3} = 0$不给出解，意味着图没有拐点。

然后检查迹象 $f (x)$而且 $f (x)$周围 $x = 1, x = 0,$而且 $x = 1,$我们得到了下面的表格:

$\开始{数组}{c c c c c c c} x & \ cdots & 1 & \ cdots四维& \ cdots & 1 & \ cdots \ \ \ \ f (x ) & (+) & 0 &(-) & & (-) & 0 & (+) \\ f (x ) & (-) & (-) &(-) & & (+) &(+) & (+) \\ f (x) & \文本{(凹)}&-1 & \文本{(凹)}& & \文本{(凹)}& 1 &文本{(凹)}\ \{数组}结束$

现在,观察到 $f (x)$可以改写为 $f (x) = \压裂{x ^ 2 + 1} {2 x} = \压裂{1}{2 x} + \压裂{1}{2}x。$然后检查极限 $f (x)$正如我们的最后一步

$\lim_{x \rightarrow +0} f(x) =\infty， \lim_{x \rightarrow -0} f(x) =-\infty$

而且

$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \离开(f (x) - \压裂{1}{2}x \右)= 0,\ lim_ {x \ rightarrow - \ infty} \离开(f (x) - \压裂{1}{2}x \右)= 0。$

因此，在区间内 $(0 \ infty)$曲线向下凹，无限接近 $y$设在作为 $x \ rightarrow 0$到那一行 $y = \压裂{1}{2}x$作为 $x \ rightarrow \ infty。$

同样，在区间内 $(0) - \ infty$曲线向上凹，无限接近 $y$设在作为 $x \ rightarrow 0$到那一行 $y = \压裂{1}{2}x$作为 $x \ rightarrow - \ infty。$现在我们可以画出 $y = f (x),$如下图所示:

因此，给定图的渐近线是 $y$-轴和直线 $y = \压裂{1}{2}x。$ $_ \广场$

曲线的渐近线是什么 $y = x 2 x ^ 2 - \ ln ?$

---

让 $y = f (x),$由于对数函数是在正数上定义的，定义域 $f (x)$都是实数吗 $x$这样 $x > 0。$

现在，为了更好地理解曲线是什么样的，我们得到一阶和二阶导数 $f (x)$如下:

$\{对齐}开始f (x) & = 4 x - \压裂{1}{x} \ \ & = \压裂{4 x ^ 2 - 1} {x} \ \ & = \压裂{(2 x + 1) (2 x - 1)} {x} \ \ \ \ f (x) & = 4 + \压裂{1}{x ^ 2}。结束\{对齐}$

让 $f (x) = \压裂{(2 x + 1) (2 x - 1)} {x} = 0,$我们有 $x = \压裂{1}{2}$自 $x > 0。$
让 $f (x) = 4 + \压裂{1}{x ^ 2} = 0$没有解决方案，因为 $4 + \压裂{1}{x ^ 2} > 0,$这意味着曲线没有拐点。

然后检查迹象 $f (x)$而且 $f (x)$周围 $x = \压裂{1}{2},$我们得到了下面的表格:

$\{数组}{c c c c}开始x四维& \ cdots & \压裂{1}{2}& \ cdots \ \ \ \ f (x ) & & (-) & 0 & (+) \\ f (x ) & & (+) & (+) & (+) \\ f (x) & & \文本{(凹)}& \离开(\压裂{1}{2}- \ ln \压裂{1}{2}\右)& \文本{(凹)}\{数组}结束$

现在，检查极限 $f (x)$作为最后一步，我们

$\lim_{x \rightarrow +0} f(x) =\infty， \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) =\infty。$

因此，在区间内 $(0 \ infty)$曲线向上凹，在点触底 $x = \压裂{1}{2}$的值无限上升 $x$方法要么 $0$或 $\ infty。$现在我们可以大致画出 $y = f (x),$如下图所示:

因此，给定曲线的渐近线是 $y$设在。 $_ \广场$