反三角函数微积分“，

如果你能评估一下，你会怎么想 $int \ \压裂{dx}{\√6 {1 - x ^ {2}}}$不做三角替换就能算出来?如何 $\int \frac{dx}{1+x^2}?$这个wiki会告诉你怎么做。结果是，当你使用三角或双曲三角替换来计算这些积分时，这些积分的结果总是会得到反三角或反双曲函数。

还记得函数的逆是什么吗?我们来定义三角函数的逆函数，比如 $Y = \ sinx$通过编写 $X = \sin y$，等于 $Y = \sin^{-1} x$或 $Y = \arcsin x$．你可以应用这个惯例来得到其他的反三角函数。如果我们想求逆函数的微分，可以用这个公式

$左(f \ ^{1} \右)”(x) = \ dfrac {1} {f ' \离开(f ^ {1} (x) \右)}。$

另一个会用到的事实是 $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$，这是勾股定理在单位圆上的应用。

$\dfrac{d}{dx} (\arcsin x) =\，?$

---

利用逆函数的导数公式， $左(f \ ^{1} \右)”(x) = \压裂{1}{f ' \离开(f ^ {1} (x) \右)}$，如果我们说 $Y = \arcsin x$，我们可以写

$\压裂{d} {dx} \大[\ arcsin (x) \]大= \压裂{1}{左\压裂{d} {dy} \[\罪y \]}$

因为它的逆 $Y = \ sinx$是 $X = \sin y$，然后我们可以写成 $\frac{1}{\cos y}$．但是什么是 $y ?$自 $Y = \arcsin x$，我们就可以说

$d \压裂{}{dx} (\ arcsin x) = \压裂{1}{\因为\离开(\ arcsin x \右)}= \压裂{1}{\√6{1 - \罪^{2}\离开(\ arcsin x \右)}}= \压裂{1}{\√6 {1 - x ^{2}}}。\ _ \广场$

现在我已经求出了其中一个反三角函数的导数，你应该自己求出其他五个。答案如下:

$\开始{对齐}\ dfrac {d} {dx} \离开\[罪^ {1}x \] & = \ dfrac {1} {\ sqrt {1 - x ^ 2}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开\[因为^ {1}x \] & = \ dfrac{1}{\√6 {1 - x ^ {2}}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\ tan ^ {1} x \] & = \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\床^ {1}x \] & = \ dfrac {1} {1 + x ^ {2}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\交会^ {1}x \] & = \ dfrac{1}{\左| x \右| \√6 {x ^ {2} - 1}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\ csc ^ {1} x \] & = \ dfrac{1}{\左| x \右| \√6 x ^{1}{2}}。结束\{对齐}$

需要考虑的问题:

• 为什么我们需要绝对值符号 $x$对于sec逆和余割的导数?

记住我们可以这么说 $\int \frac{dx}{\√{1-x^{2}}} = \arcsin x + C?$是什么让我们这么说的?我们用了逆函数的导数公式， $左(f \ ^{1} \右)”(x) = \压裂{1}{f ' \离开(f ^ {1} (x) \右)}$，以及毕达哥拉斯恒等式。

但如果我们想找到 $int \ \压裂{dx}{\√6 {1 + x ^ {2}}} ?$我们的“正常的”反三角函数并没有为我们提供一种计算方法。然而，我们可以注意到双曲三角函数恒等式与普通三角函数恒等式非常相似，只是符号变化很小。我们来看看双曲三角函数的勾股定理吧?

我们知道 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$而且 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$．
如果我们计算 $左(\ \压裂{e ^ {x} + e ^ {x}}{2} \右)^{2}- \离开(\压裂{e ^ ^ {x} - e {- x}}{2} \右)^ {2}?$
那么答案是 $左(\ \压裂{e ^ {2 x} + e ^ {2 x} + 2}{4} \右)- \离开(\压裂{e ^ {2 x} + e ^ {2 x} - 2}{4} \右)= 1。$

因为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$而且 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$我们刚刚证明了这一点

$\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1。$

利用这个事实，我们现在用逆函数的导数公式和双曲三角函数的毕达哥拉斯恒等式来推导双曲三角函数的导数公式。

我们求下列函数的导数:

$c \开始{数组}{}y = \ sinh ^ {1} x, y = \ cosh ^ {1} x, y = \双曲正切^ {1}x, y = \文本{双曲余切}^{1},{双曲正割}^ y = \文本{1},{csch} ^ y = \文本{1}\{数组}结束。$

$\frac{d}{dx} \left[\sinh^{-1} x \right] =\， ?$

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使用 $左(f \ ^{1} \右)”(x) = \压裂{1}{f ' \离开(f ^ {1} (x) \右)}$如果我们这么说的话 $Y = \sinh^{-1} x$，我们可以写

$y ' = \压裂{1}{\压裂{d} {dy} \ sinh (y)} = \压裂{1}{\ cosh y}。$

但是什么是 $y ?$

$Y ' = \frac{1}{\cosh\left(\sinh^{-1} x \right)}。$

知道 $\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$我们可以这么说 $\cosh x = \根号{1+ \sinh^{2} x}$．然后，我们可以写

$y ' = \压裂{1}{\√6 {1 + \ sinh ^{2} \离开(\ sinh ^ {1} x \右)}}= \压裂{1}{\√6 {1 + x ^{2}}}。\ _ \广场$

现在，我已经为你做了一个例子，请推导出其余的公式(答案将在下面显示)，用于其余的反双曲三角函数的导数:

$\开始{对齐}\ dfrac {d} {dx} \离开[\ sinh ^ {1} x \] & = \ dfrac{1}{\√6 {1 + x ^ {2}}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\ cosh ^ {1} x \] & = \ dfrac{1}{\√6 {x ^ {2} - 1}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\双曲正切^ {1}x \] & = \ dfrac {1} {1 - x ^ {2}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\文本{双曲余切}^ {1}x \] & = \ dfrac {1} {1 - x ^ {2}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\文本{双曲正割}^ {1}x \] & = - \ dfrac {1} {x \√6 {1 - x ^ {2}}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\文本{csch} ^ {1} x \] & = - \ dfrac{1}{\左| x \右| \√6 {1 + x ^{2}}}。结束\{对齐}$

需要考虑的问题:

• 的导数是什么 $x \双曲正切^ {1}$而且 $文本\{双曲余切}^ {1}x$看起来一样吗?你知道什么时候该说 $x \双曲正切^ {1}$vs。 $文本\{双曲余切}^ {1}x ?$
• 对于其他的导数公式，是否可以对所有的值 $x ?$为什么或者为什么不呢?
• 为什么 $x$在双曲余割逆导数的根号外有绝对值符号，而 $x$在根式外的导数中双曲正割的逆不是吗?

评估 $\ dfrac {d} {dx} \离开[\文本{双曲正割}^{1}\离开(x ^{2016} \) \右]。$

现在，我们来做逆我们刚刚所做的(请笑)。我们知道积分是微分的反义词。因此，我们可以立即写出以下内容:

${对齐}\ displaystyle \ int \ \开始dfrac {dx}{\√6 {1 - x ^{2}}} & = \罪^ {1}x + C \ \ \ int - \ dfrac {dx}{\√6 {1 - x ^ {2}}} & = \ cos ^ {1} int x + C \ \ \ \ dfrac {dx} {1 + x ^ {2}} & = \ tan ^ {1} x + C \ \ \ int - \ dfrac {dx} {1 + x ^{2}} & = \床^ {1}int x + C \ \ \ \ dfrac {dx} {x \√6 {x ^{2} - 1}} & = \交会^{1}\左右| x \ | + C \ \ \ int - \ dfrac {dx} {x \√6 {x ^ {2} - 1}} & = \ csc ^{1} \左| x \ | + C。结束\{对齐}$

需要考虑的问题:

• 不是 $\int - \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$和 $- \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$，这就会导致 $- \sin^{-1} x + C?$
• 我们为什么要移动 $\左| \右|$从根号外面到正割逆和余割逆 $\左(\sec^{-1} \左| x \右| \右。$而且 $\离开了。\csc^{-1} \left| x \right| \right)?$这是允许的吗?

评估 $int \ \压裂{dx}{\√6 {9-4x ^ {2}}}$．

---

我们想要得到被积函数的形式 $杜\压裂{}{\√6 {1 u ^ {2}}}$因为我们不需要做三角函数替换就可以积分。

把9提出来，然后我们可以写

$int \ \压裂{dx}{\√6{9 \离开(1 - \压裂{4}{9}x ^{2} \右)}}= \ int \压裂{dx}{3 \√6{1 - \压裂{4}{9}x ^{2}}}。\ qquad (1)$

现在,设置 $U = \frac{2}{3} x$而且 $\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$．我们为什么要这样做?因为我们要的是这种形式的被积函数 $杜\压裂{}{\√6 {1 u ^ {2}}}$．然后 $(1）$就变成了

$\压裂{3}{2}\ cdot \压裂{1}{3}\ int \压裂{du}{\√6 {1 u ^ {2}}},$

看起来很眼熟，等于什么

$\dfrac{1}{2}\arcsin u + C，$

在哪里 $C$是积分常数。

但这还没完。是什么 $u ?$这是 $U = \frac{2}{3} x$．我们必须把它代回去(除非我们做的是定积分，并且找到了u替换的积分上限和下限)然后最后的结果出来了

$\ dfrac {1} {2} \ arcsin \离开(\ dfrac {2} {3} x \右)+ c \ _ \广场$

就像我们对反三角函数做的一样，我们可以马上写出一些积分:

$\开始{对齐}\ int \ dfrac {dx}{\√6 {1 + x ^ {2}}} & = \ sinh ^ {1} int x + C \ \ \ \ dfrac {dx}{\√6 {x ^ {2} - 1}} & = \ cosh ^ {1} int x + C \ \ \ \ dfrac {dx} {1 - x ^{2}} & = \双曲正切^ {1}x + C \ qquad \离开文本(文本{或}~ \ \{双曲余切}^ {1}x + C \) \ \ \ int \ dfrac {dx} {x \ sqrt {1 - x ^ {2 }}} &= - \ 文本{双曲正割}^ {1}int x + C \ \ \ \ dfrac {dx} {x \√6 {1 + x ^ {2 }}} &= - \ 文本{csch} ^ {1} x + c \{对齐}结束$

但这并不是故事的全部。我们如何重写 $Y = \sinh^{-1} x?$我们可以说 $\frac{e^{y}-e^{-y}}{2} = x$．如果我们解出 $y ?$然后我们有

$\{对齐}开始e ^ ^ {y} - e {- y} & = 2 x \ \ e ^ y{} \离开(e ^ ^ {y} - e {- y} \右)& = 2 x e ^ y {} \ \ e ^ y} {2 - 1 & = 2 xe ^ {y}。结束\{对齐}$

让 $U = e^{y}$,然后

$\{对齐}开始u ^ {2} - 2 xu - 1 & = 0 \ \ u & = \ dfrac {2 x \ \下午√{4 x ^ {2} - 4 (1)}} {2} \ \ & = x \ \下午√6 {x ^{2} + 1}。结束\{对齐}$

因为我们说过 $u = e ^ y {}$，我们也可以说 $\ln u = y$因为我们一直在寻找 $y$．但是什么是 $u ?$我们解了一个二次方程 $U = x \pm \√{x^{2} + 1}$．所以我们可以这么说 $x = \ \ sinh ^ {1} ln \离开x \ \下午√x ^{{2} + 1} \右)?$不!对数的论证必须有什么条件?肯定是正的!如果我们看一下 $Y = x + \根号{x^{2} + 1}，$我们没事，因为它总是正的。但是，如果我们看一下 $Y = x - \根号{x^{2} + 1}$，我们不是没事，因为它总是负的。如果我们能这么说 $x = \ \ sinh ^ {1} ln \离开(x + \ sqrt {x ^{2} + 1} \右)$，那么我们也可以说 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$也可以写成 $\ln \left(x + \√{x^{2} + 1} \right) + C$,在那里 $C$是积分常数。

请用自然对数重新写一下这些积分的结果。答案如下:

$\开始{对齐}\ int \ dfrac {dx}{\√6 {1 + x ^ {2}}} & = \ ln \离开(x + \ sqrt {x ^{2} + 1} \右)+ C \ \ \ int \ dfrac {dx}{\√6 {x ^ {2} - 1}} & = \ ln \离开x + \√x ^{1}{2} \右)+ C \ \ \ int \ dfrac {dx} {1 - x ^ {2}} & = \ dfrac {1} {2} \ ln左| \ \ dfrac {1 + x} {1 - x} \右| + C \ \ \ int \ dfrac {dx} {x \ sqrt {1 - x ^ {2 }}} &= - \ ln \离开(\ dfrac {1 + \ sqrt {1 - x ^{2}}}{\左| x \右|}\右)+ C \ \ \ int \ dfrac {dx} {x \√6 {1 + x ^ {2 }}} &= - \ ln \离开(\ dfrac {1 + \ sqrt {1 + x ^{2}}}{\左| x \右|}\右)+ C。结束\{对齐}$

需要考虑的问题:

关于这两组公式，考虑以下问题:

• 这些公式对所有的值都成立吗 $u ?$为什么或者为什么不呢?如有需要，请说明 $u$．
• 为什么会有绝对值符号 $x$在最后两个积分的结果中?
• 什么时候使用 $x \双曲正切^ {1}$在积分的结果中 $文本\{双曲余切}^ {1}x ?$

评估 $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2} - 9}}$．

---

我们想让积分看起来像这样 $\int \frac{du}{\sqrt{u^{2} - 1}}$．

我们先提出来 $9$：

$int \ \压裂{dx}{\√6{9 \离开(\压裂{4}{9}x ^{2} - 1 \右)}}= \压裂{1}{3}\ int \压裂{dx}{\√6{\压裂{4}{9}x ^{2} - 1}}。\ qquad (1)$

现在，我们开始吧 $u$替换:让 $U = \frac{2}{3}x$而且 $Du = \frac{2}{3} dx$．然后 $(1）$就变成了

$\ dfrac {1} {3} \ cdot \ dfrac {3} {2} \ int \ dfrac {du}{\√6 u ^ {{2} - 1}},$

这看起来非常眼熟!

我们有两个选择:最后一个表达式等于

$\压裂{1}{2}\ cosh ^ {1} u + C{或}\ qquad \ \ qquad \文本压裂{1}{2}\ ln \离开(u + \ sqrt {u ^ {2} - 1} + C \右),$

在哪里 $C$是积分常数。但在任何一种情况下 $u ?$这是 $U = \frac{2}{3}x$．

因此，给定的表达式等于

$\ dfrac {1} {2} \ cosh ^{1} \离开(\ dfrac {2} {3} x \右)+ C{或}\ qquad \ \ qquad \文本dfrac {1} {2} \ ln \离开(\ dfrac {2} {3} x + \ sqrt {\ dfrac {4} {9} x ^{2} - 1} \右)+ C \ _ \广场$