仿射变换
一个仿射变换是一种保持共线性的几何变换(如果一组点在变换前位于一条直线上,那么它们在变换后都位于一条直线上)和直线上点之间距离的比率。仿射变换的类型包括平移(移动图形)、缩放(增加或减少图形的大小)和旋转(围绕一个点旋转图形)。
注意,可以进行仿射变换 ,因为 ,尽管有些转换对 .将使用矩阵代数来统一演示。为了得到唯一的仿射变换矩阵,需要比 的 空间。还假定这些点不共享一个公共点 空间。例如,在 空格,3分是必须的,它们不能都在同一个地方 也就是说,空间不能共线。
示例和计算将在后面 .希望扩展到 它将是显而易见的。
仿射变换的可视化示例
在每个例子中之前是红色和固体和后是蓝色和虚线。示例三角形的角将被标记如下:第一个角将有一个小圆盘,第二个角将有一个小四边形,第三个顶点将有一个小五边形对象。所有这些标签都是半透明灰色的。在每个例子中,原始三角形将是(0,0)、(1,0)和(0,1)。
翻译
正确的 和由
扩展
通过 垂直。根据定义,缩放只在一个方向上。注意,多轴缩放是允许的,在所有轴上,成为一个放大或同质。
反射
关于一条穿过的无限的线的反射 斜率为 :
旋转
绕原点旋转一个角度 弧度:
剪切或剪切
通过某角沿原点剪切 弧度:
增广矩阵和齐次坐标
仿射变换变成一维更高的线性变换。通过指定一个点的下一个坐标 ,例如, 就变成了 ,它们被称为齐次坐标。由于线性变换很容易用矩阵表示,相应的实体是增广矩阵,其中 S提供除平移之外的所有转换,这些转换由 年代。
找到仿射变换及其反变换
点的示例集是原始集和最终集。
最初的一组是 , 而且 ,.在一个 矩阵,这就变成:
期望的最终设置是 , 而且 .在一个 矩阵,这就变成:
因此,仿射变换矩阵为 的 .
可以用 .注意下面,因为矩阵乘法是不可交换性,即被乘数不能交换边,逆的 要走到身边吗 那 是在上 之前。因为,在这篇文章中,列向量和左边矩阵的乘法是按约定使用的,这意味着 会去正确的的一面 .另外,注意if 不会倒转,这意味着原始点在一个公共子空间中,例如,在二维情况下共线,在三维情况下共面,等等。
反向变换是正变换的矩阵逆:
仿射变换前后平滑过渡的影片
电影的每一帧都是 总的仿射变换从所有到没有再回来。
另请参阅
仿射空间.