定义。让
(一个1,V1,+),(一个2,V2,+)是仿射空间。
f:一个1→一个2是一个仿射变换如果
∀一个1,一个2∈一个1,f(一个1)−f(一个2)=Df(一个1−一个2),在那里
Df:V1→V2是一个线性变换。
Df叫做仿射变换的线性部分。
的例子。转换
fv
:一个→一个,一个↦一个+v
是仿射。这是显而易见的。
命题1。仿射空间的集合形成一个类别。
证明。这是根据定义得出的。
□
命题2。仿射空间和向量空间的范畴是函式的。
证明。让
(一个我,V我,+)我=1,2是两个仿射空间,其中
f:一个1→一个2仿射,
Df:V1→V2线性的。一个映射关联
f与
Df是一个从仿射空间范畴转到向量空间范畴的函子。这是由命题1和两个仿射变换的组合是仿射的明显事实得出的,由此证明了命题。
□
命题3。存在一个独特的仿射变换
f之间的
(一个1,V1,+),(一个2,V2,+)由两点决定
一个我∈一个我=1,2一个线性映射
T:V1→V2与
f(一个1)=一个2.
证明。3)在仿射空间的定义中,每一个元素
一个∈一个1可能是写
一个=一个1+v
.让
f具有以下属性:
f(一个)−一个2=f(一个1+v
)−一个2=T(v
).然后
f显然是仿射,
Df=T,
f(一个1)=一个2.独特性是显而易见的。这个命题被证明了。
□.
命题4。让
(一个我,V我,+)我=1,2是两个仿射空间。两个仿射变换
f1,f2:一个1→一个2有相同的线性部分当且仅当
f1=fv
∘f2对于一些独特的
v
∈V2.
证明。相反的方向由定义而来。若要显示前进方向,请设置
f2”=ff2(一个)−f1(一个)
∘f1根据命题3,
f2”=f2.这个命题被证明了。
□