零和游戏

一个零和游戏是一个游戏在这种情况下，任何玩家都不可能在不伤害其他玩家的情况下帮助自己。这个名字来源于这样一个事实，即在这种情况下，所有参与者的得失总和为零。例如，如果参与人A和参与人B在玩一场零和游戏，参与人A选择了一个能多赢1美元的策略，那么这个策略一定会让参与人B多输1美元。

许多简单的现实世界情景可以被模拟成零和博弈:例如，在邻国之间分配有限的资源是零和博弈，因为一个国家获取的任何额外资源都会导致另一个国家获得的资源更少。

二人零和游戏是非常好的，因为他们总是至少有一个纳什均衡只要混合策略是允许的。

假设玩家A和B在一张纸上写下0或1，然后得到回报根据以下矩阵:

$开始\{数组}{ccc} (A / B) & &球员& \ \ & & 0 & 1 \ \ Player&0&3 / 3 &-4/4 \ \ B&1&-2/2&3 / 3。结束\{数组}$

实际上，玩家A在玩相同的数字时获胜，而玩家B在玩不同的数字时获胜。注意，这是一个零和博弈，因为在任何情况下，a和B的得失总和为零。

现在，如果参与人A采用混合策略，概率为0 $p$1表示概率 $1 - p$，如果参与人B选0，他的预期收益是 $3 p-4 (1 - p) = 7 p-4$．如果参与人B选1，他的预期收益是 $2 p + 3 (1 - p) = 5 p + 3$．在纳什均衡时，这两项相等，所以我们发现 $7 p-4 = 5 p + 3 \意味着p = \压裂{7}{12}。$参与人A应该是0 $\ frac7 {12}$时间和1 $\ frac5 {12}$的时间。

一般情况下，当每个参与人有两个以上的选择时，零和博弈的纳什均衡可以通过求解一个优化问题得到。如果 $米$报酬矩阵，问题是找一个向量吗 $u$,最大限度地减少 $\ u_i总和$受 $u \组0$和 $μ\组1$．然后,重新调节 $u$使其为概率向量，则给出了零和博弈的纳什均衡，且纳什均衡是保证存在的。

零和博弈可以用来模拟真实世界的情况，但却无法解释所有的复杂性，一个很好的例子就是简单的选举。如果有候选人的话 $A, B, C$，每个候选人都获得一定数量的选票，得票最多的候选人获胜，那么这种情况就是一个零和游戏。如果候选人 $一个$希望获得更多的选票，他们必须从候选人那里获得 $B$或 $C$．然而，这只在人口中的每个人都投票给三个候选人中的一个的假设下成立——如果一些选民弃权，那么一个候选人可以通过吸引弃权的选民来增加他的总票数，而不减少其他候选人的总票数。

现实生活中其他常见的零和游戏包括象棋和扑克等游戏，以及期权和期货等金融工具(不包括交易成本)。在每一种情况下，一个参与者收益的增加对应着另一个参与者收益的减少。