零和游戏

一个零和博弈是一个游戏其中任何球员都不可能在不伤害他的球员的情况下帮助自己。这个名字来自这样一个事实，即在这种情况下，所有玩家的收益和损失总计为零。例如，如果玩家A和B正在玩零和游戏，并且玩家A选择了赢得他1美元的策略，那么该策略必须导致玩家B损失1美元。

许多简单的现实世界情况可以将其建模为零和游戏：例如，在邻国之间划分有限的资源供应是零和零，因为一个国家所需的任何额外资源都会导致另一个国家获得更少的资源。

两人零总和非常好，因为他们总是至少有一个纳什平衡只要混合策略被允许。

假设玩家A和B玩游戏，每个游戏都在一张纸上写下0或1的游戏，然后接受收益根据以下矩阵：

$\ begin {array} {ccc}（A/B）\ end {array}$

有效地，玩家A播放相同的数字时获胜，并且球员在玩不同的数字时获胜。请注意，这是一款零和游戏，因为在任何情况下，A和B总和的损失都达到零。

现在，如果玩家A扮演混合的策略，他以概率为0 $p$1有概率 $1-p$，如果球员B的比赛0是，他的预期收益是 $3P-4（1-P）= 7p-4$。如果球员B的比赛1，他的预期收益是 $-2p+3（1-p）= -5p+3$。在NASH平衡下，这两个将相等，因此我们发现 $7p-4 = -5p+3 \暗示p = \ frac {7} {12}。$所以玩家A应该玩0 $\ frac7 {12}$时间和1 $\ frac5 {12}$的时间。

通常，当每个玩家都有两个以上的选项时，可以通过解决优化问题来找到零和游戏的NASH平衡。如果 $m$是收益矩阵，问题是要找到一个向量 $你$最小化 $\ sum u_i$约束 $u \ geq 0$和 $Mu \ geq 1$。然后，恢复 $你$为了使其成为概率向量，将为零和游戏提供NASH平衡，这可以保证存在。

一个很好的例子，看看如何使用零和游戏来建模现实世界的情况，但无法解释所有复杂性，这是一个简单的选举。如果有候选人 $a，b，c$，在每个人获得一定数票，而票数最多的候选人获胜的地方，这种情况是零和游戏。如果候选人 $一个$希望获得更多选票，必须从候选人那里获得 $b$或者 $C$。但是，仅在人口中的每个人都投票支持三名候选人之一的假设是正确的 - 如果某些选民弃权，那么候选人可以通过吸引选民来增加他的投票总数，而不会减少任何一项。其他候选人总计。

零和游戏的其他常见现实生活示例包括国际象棋和扑克等游戏，以及期权和期货等金融工具（不包括交易成本）。在每种情况下，一个球员的回报增加对应于另一个球员的回报的下降。