向量分解

每个向量都可以被认为是两个或多个其他向量的和。

考虑上图中的三个向量。自 $\ overrightarrow {AC}$是由 $\ overrightarrow {AB}$而且 $公元前\ overrightarrow {},$建立如下表达式:

$\ overrightrow {AC} = \ overrightrow {AB} + \ overrightrow {BC}。$

向量分解就是把一个向量分解成两个或更多的向量使它们加起来等于原向量的一般过程。的组件向量根据手头问题的具体细节来选择分解的原始向量。

考虑到分 $O=(0,0,0)， a =(1,0,0)， b =(0,1,0)， c =(0,0,1)，$而且 $D =(3、4、5),$的价值是什么 $a + b + c,$在哪里 $a、b$而且 $c$满足以下方程:

$\ overrightarrow {OD} = a \ cdot \ overrightarrow {OA} + b \ cdot \ overrightarrow {OB} + c \ cdot \ overrightarrow {OC} ?$

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我们有

$\开始{数组}{c} & \ overrightarrow {OD} =(3、4、5),& \ overrightarrow {OA} = (1,0,0) & \ overrightarrow {OB} = (0,1,0) & \ overrightarrow {OC} =(0 0 1)。结束\{数组}$

然后,

${对齐}\ \开始overrightarrow {OD} & = \ cdot \ overrightarrow {OA} + b \ cdot \ overrightarrow {OB} + c \ cdot \ overrightarrow {OC} \ \(3、4、5)& = (1,0,0)+ b (0,1,0) + c (0, 0, 1) \ \ & = (0, 0) + (0, 0) + (0, 0, c) \ \ & = (a, b, c) \ \ \ \ \ Rightarrow & = 3, b = 4, c = 5。结束\{对齐}$

因此, $A +b+c = 3+4+5 = 12。$ $_ \广场$

观察到 $\ overrightarrow {OD}$分解为三个平行于三个坐标轴的向量。还要注意向量 $\ overrightarrow {OA} \ overrightarrow {OB},$而且 $\ overrightarrow {OC}$是坐标空间的单位向量。

如果 $\vec{a} = (1,1,0)， \vec{b} = (1,0,1)$而且 $vec {c} \ = (0, 1, 1),$怎么能 $vec {\ d} =(5、6、7)$是表示使用 $vec{一},\ \ vec {b}$而且 $vec {\ c} ?$

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让 $\vec{d}= x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}。$然后我们有

$vec {d} \开始{对齐}\ & vec{一}+ y = x \ \ vec vec {c} {b} + z \ \ \(5、6、7)& = x (1 1 0) + y (1,0, - 1) + z (0, 1, 1) \ \ & = (x + y、x + z y + z),结束\{对齐}$

这意味着

$\{对齐}开始x + y & = 5 x + z \ \ & y + z = 6 \ \ & = 7 \ \ \ \ \ Rightarrow x = 2, y = 3, z = 4。结束\{对齐}$

因此,

$\vec{d} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} + 4 \vec{c}。\ _ \广场$

如果向量 $vec{一}\ =(3、2、4)$而且 $vec {b} \ = (x + 1 8 2 y)$是平行的，值是多少 $x + y ?$

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自 $vec{一}\$而且 $vec {b} \$是平行的，某个实数 $米$满足 $\vec{b} = m \vec{a}$的存在。因此,

$vec {b} \开始{对齐}\ & = m vec{一}\ \ \ (x + 1 8 2 y) & = m(3 2 4) \ \ & =(3米,2米,4米),结束\{对齐}$

这意味着

$\{对齐}开始x + 1 & = 3 m \ \ 8 & = 2 m \ \ \ \ \ \ \ 2 y = 4米Rightarrow猴= 4,x = -13, y = 8。结束\{对齐}$

因此, $x + y = -13 + 8 = 5。\ _ \广场$

点的坐标 $A、B$而且 $C$是 $(1、3),(4,1),$而且 $(5) 7$分别。如果 $\ overrightrow {PA} + \ overrightrow {PB} + \ overrightrow {PC}=\ overrightrow {0}，$点的坐标是什么 $P ?$

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设点的位置向量 $P$是 $\ overrightarrow {OP} = (x, y)。$然后我们有

${对齐}\ \开始overrightarrow {PA} & = (1 - x,仍)\ \ \ overrightarrow {PB} & = (4 x 1 y) \ \ \ overrightarrow{电脑}& = (7 x 5 y)。结束\{对齐}$

因为我们被赋予 $\ overrightrow {PA} + \ overrightrow {PB} + \ overrightrow {PC} = \ overrightrow {0}，$我们有

${对齐}\ \开始overrightarrow {PA} + \ overrightarrow {PB} + \ overrightarrow{电脑}& = \ overrightarrow {0} \ \ (1 - x,仍)+ (4 x 1 y) + (7 x 5 y) & = (0, 0) \ \ (12-3x 9-3y) & = (0, 0) \ \ \ \ \ Rightarrow x = 4, y = 3。结束\{对齐}$

因此，点的坐标 $P$是 $P =(4, 3)。$ $_ \广场$

如果向量 $vec{一}\ =(1、2)$而且 $vec {b} \ =(4、5)$满足 $vec {a} = \ \ vec vec {y} {x} + \$而且 $vec {b} = \ \ vec vec {y}, {x} 2 \$是什么 $vec {x} - \ \ vec {y} ?$

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我们有

$vec {x} \开始{对齐}\ vec {y} & = + \ \ vec vec {x} {} \ \ \ 2 vec {y} \ & = vec {b} \ \ \ \ Rightarrow vec {x} & = \ \压裂{1}{3}\大(2 \ vec vec {b}{} + \ \大),vec {y} & = \ \ \ \压裂{1}{3}\大(\ vec vec {b}{} - \ \大)。结束\{对齐}$

因此, $vec {x} - \ \ vec {y}$是

$\开始vec {x} -{对齐}\ \ vec {y} & = \压裂{1}{3}\大(2 \ vec vec {b}{} + \ \大)——\压裂{1}{3}\大(\ vec vec {b}{} - \ \大)\ \ & = \压裂{1}{3}\大(\ vec vec {b}{一}+ 2 \ \大)\ \ & = \压裂{1}{3}vec{} + \ \压裂{2}{3}vec {b} \ \ & = \ \离开(\压裂{1},{3}\压裂{2},{3}\右)+ \离开(\压裂{8},{3}- \压裂{10}{3}\)\ \ & =(3、4)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

一种通常有用的分解方法是使用平行于每个坐标轴的分量。

上图显示了一个矢量在三维空间中的分解。注意红色向量可以分解成三个绿色向量，它们平行于三个坐标轴。因此, $\ overrightarrow {OD}$是由三个向量组成的吗 $\ overrightarrow {OA} \ overrightarrow {OB}$而且 $\ overrightarrow {OC}。$因此，以下表达式对应:

$\ overrighttarrow {OD} = \ overrighttarrow {OA} + \ overrighttarrow {OB} + \ overrightrow {OC}。$

我们可以定义指向每个正坐标轴的单位向量如下:

${对齐}\ \开始帽子{x} & =(1,0,0) \ \ \帽子{y} & =(0,1,0) \ \ \帽子{z} & =(0 0 1)。\{对齐}结束$

对于任何向量都是这样 $\vec{V} = (x, y, z)$，它认为

$帽子vec {V} = v_x \ \ {x} + v_y \帽子{y} + v_z \帽子{z}。$

这样，我们经常会遇到用单位向量表示的向量 $帽子\ {x}$， $帽子\ {y}$, $帽子\ {z}$．另一种符号是 $帽子\{我}= {x} \帽子$， $帽子\ {j} = {y} \帽子$, $帽子\ {k} = {z} \帽子$．

例如，向量 $(1、2、3)$可以表示为 $\帽子{x} + 2 \帽子{y} + 3 \帽子{z}$．

注意坐标单位向量是正交．也就是说， $帽子\帽子{x} \ cdot \ {x} = {y} \ \帽子帽子cdot \帽子{y} = \ {z} \ cdot \帽子{z} = 1$而且 $帽子\帽子{x} \ cdot \ {y} = {y} \ \帽子帽子cdot \ {z} = {x} \ \帽子帽子cdot \ {z} = 0$．

当两个向量 $\vec{V}= (x, y, z)$而且 $\vec{W} = (w_x, w_y, w_z)$添加、

$vec {vec {V} + \ \ W} = {x} (v_x \帽子帽子+ v_y \ {y} + v_z \帽子{z}) + (w_x \帽子{x} + w_y \帽子{y} + w_z \帽子{z}) = (v_x + w_x) \ {x} +帽子帽子(v_y + w_y) \ {y} + (v_z + w_z) \帽子{z},$

也就是 $(v_x + w_x, v_y + w_y, v_z + w_z)$．类似地，当取点积的时候 $vec {vec {V} \ \ cdot \ W}$,一个获得

$vec {V} \开始{对齐}\ \ cdot \ vec {W} & = (v_x \帽子{x} + v_y \帽子{y} + v_z \帽子{z}) \ cdot (w_x \帽子{x} + w_y \帽子{y} + w_z \帽子{z}) \ \ & = v_x w_x \帽子{x} \ cdot \帽子{x} + v_y w_y \帽子{y} \ cdot \帽子{y} + v_z w_z \帽子{z} \ cdot \帽子{z} \ \ & = v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z,结束\{对齐}$

像预期的那样。