向量分解

每个向量都可以看作是两个或多个其他向量的和。

考虑上面图中的三个向量。自从 $\过右箭头{AC}$是由 $\过右箭头{AB}$和 $\过右箭头{BC}，$得到如下表达式:

$\过右箭头{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}。$

向量分解是将一个向量分解成两个或多个向量，这些向量加起来等于原向量的一般过程。的分量向量根据手头问题的具体细节，选择原始向量分解到其中。

鉴于这些要点 $a =(0,0,0)， a =(0,0,0)， b =(0,1,0)， c =(0,0,1)， c =(0,0,1)， c =(0,0,1)，$和 $D=（3,4,5），$它的价值是什么 $a+b+c，$哪里 $a、 b,，$和 $C$满足以下等式：

$\overwightarrow{OD}=a\cdot\overwightarrow{OA}+b\cdot\overwightarrow{OB}+c\cdot\overwightarrow{OC}？$

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我们有

$\开始{array}{c}&\overwightarrow{OD}=（3,4,5），&\overwightarrow{OA}=（1,0,0），&\overwightarrow{OB}=（0,1,0），&\overwightarrow{OC}=（0,0,1）。\end{array}$

然后,

$\开始{aligned}\overrightarrow{OD}&=a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC}\\（3,4,5）和=a（1,0,0）+b（0,1,0）+c（a,0,0）+（0,0,0,0,0,0）+（0,0,0,0,0,0,c）\&=（a，b，b，c）和=3,b=5\结束{对齐}$

因此, $A +b+c = 3+4+5 = 12。$ $_\方格$

注意 $\过右箭头{OD}$分解为三个平行于三个坐标轴的向量。还要注意向量 $\过右箭头{OA}、\overwightarrow{OB}，$和 $\ overrightarrow {OC}$是坐标空间的单位向量。

如果 $\vec{a}=（1,1,0），\vec{b}=（1,0,1）$和 $vec {c} \ = (0, 1, 1),$怎么能 $vec {\ d} =(5、6、7)$是表示使用 $\向量{a}、\vec{b}$和 $vec {\ c} ?$

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让 $\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}。$然后我们有

$\开始{aligned}\vec{d}&=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}\\（5,6,7）和=x（1,1,0）+y（1,0,1）+z（0,1,1）\&=（x+y，x+z，y+z），结束{aligned}$

这意味着

$\开始{aligned}x+y&=5\\x+z&=6\\y+z&=7\\\\\\Rightarrow x=2，y&=3，z=4\结束{对齐}$

因此

$\vec{d}=2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}.\\平方$

如果向量 $\向量{a}=（3，-2，-4）$和 $\向量{b}=（x+1,8,2y）$都是平行的，有什么价值 $x+y？$

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自 $\向量{a}$和 $\向量{b}$是某个实数吗 $M$满足 $\vec{b} = m \vec{a}$存在。因此

$vec {b} \开始{对齐}\ & = m vec{一}\ \ \ (x + 1 8 2 y) & = m(3 2 4) \ \ & =(3米,2米,4米),结束\{对齐}$

这意味着

$\开始{aligned}x+1&=3m\\8&=-2m\\2y&=-4m\\\\\Rightarrow m&=-4，x=-13，y=8\结束{对齐}$

因此, $x+y=-13+8=-5.\\u\广场$

点的坐标 $A、B$和 $C$是 $(1,3), (4,1),$和 $(7,5) ,$分别地如果 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}，$点的坐标是多少 $P ?$

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让点的位置向量 $P$是 $\过右箭头{OP}=（x，y）。$然后我们有

${对齐}\ \开始overrightarrow {PA} & = (1 - x,仍)\ \ \ overrightarrow {PB} & = (4 x 1 y) \ \ \ overrightarrow{电脑}& = (7 x 5 y)。结束\{对齐}$

因为我们有 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = overrightarrow{0}，$我们有

${对齐}\ \开始overrightarrow {PA} + \ overrightarrow {PB} + \ overrightarrow{电脑}& = \ overrightarrow {0} \ \ (1 - x,仍)+ (4 x 1 y) + (7 x 5 y) & = (0, 0) \ \ (12-3x 9-3y) & = (0, 0) \ \ \ \ \ Rightarrow x = 4, y = 3。结束\{对齐}$

因此，点的坐标 $P$是 $P=（4,3）。$ $_\方格$

如果向量 $vec{一}\ =(1、2)$和 $\向量{b}=（4，-5）$满足 $\vec{a}=\vec{x}+\vec{y}$和 $\vec{b}=\vec{x}-2\vec{y}，$是什么 $\vec{x}-\vec{y}？$

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我们有

$\开始{aligned}\vec{x}+\vec{y}&=\vec{a}\\\vec{x}-2\vec{y}&=\vec{b}\\\\Rightarrow\vec{x}&=\frac{1}{3}\big（2\vec{a}+\vec{b}\big），\vec{y}&=\vec{1}\frac{3}\vec}\big（{\结束{对齐}$

因此, $\vec{x}-\vec{y}$是

$\{3}{{{{对齐{{{{{{{{{}}}}{{{{}}}}{{{{{{{}}}}{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{3}\vec{b}\\\&=\left（\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}\right）+\left（\frac{8}{3}，-\frac{10}{3}\right）\&=（3，-4）。\\正方形\端点{aligned}$

一个通常有用的分解是使用平行于每个坐标轴的组件。

上图显示了三维空间中矢量的分解。可以看到，红色向量可以分解为三个平行于三个坐标轴的绿色向量。因此, $\过右箭头{OD}$是由三个向量组成的吗 $\过右箭头{OA}、\OverwighArrow{OB}$和 $\过右箭头{OC}。$因此对应的表达式如下:

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}。$

可以定义指向每个正坐标轴的单位向量，如下所示：

$\开始{aligned}\hat{x}&=（1,0,0）\\\hat{y}&=（0,1,0）\\\hat{z}&=（0,0,1）\结束{对齐}$

对于任何向量都是这样 $\vec{V}=（V_x，V_y，V_z）$它认为,

$帽子vec {V} = v_x \ \ {x} + v_y \帽子{y} + v_z \帽子{z}。$

这样，我们经常会遇到用单位向量表示的向量 $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$. 另一种表示法使用 $\hat{i}=\hat{x}$, $帽子\ {j} = {y} \帽子$, $帽子\ {k} = {z} \帽子$．

例如，向量 $(-1, 2, 3)$可以表示为 $-\hat{x} + 2 \hat{y} + 3 \hat{z}$．

请注意，坐标单位向量是正交的．也就是说， $帽子\帽子{x} \ cdot \ {x} = {y} \ \帽子帽子cdot \帽子{y} = \ {z} \ cdot \帽子{z} = 1$和 $\hat{x}\cdot\hat{y}=\hat{y}\cdot\hat{z}=\hat{x}\cdot\hat{z}=0$．

当两个向量 $\vec{V}=（V_x，V_y，V_z）$和 $\vec{W}=（W_x，W_y，W_z）$添加、

$\vec{V}+\vec{W}=（V_x\hat{x}+V_y\hat{y}+V_z\hat{z}）+（W_x\hat{x}+W_y\hat{y}+W_z\hat{z}=（V_x+W_x）\hat{x}（V_y+W_y）\hat{y}（V_z+W}，$

这和 $（v_x+w_x，v_y+w_y，v_z+w_z）$．类似地，当取点积的时候 $\vec{V}\cdot\vec{W}$获得

$\（V\u x\hat{{x}+V{{{{{{y}{{{对齐{{{{对齐的}}{{{{{{{{{{对齐的}}{{{{{{{{{{{{{}}\{{{5}}{{{{5}\ve{{{5}}\维}\ CDC{{{{{{{V}}{{{{{{{{5}}}{{{{{{{{{{{{5}}}}}}}}}\维}}\ ve{{{{{{{{{{{{{{{{{{{5}}}}}}}}}}}}}}}\村村村村村村村村}}\ve}}\维}}\门门门门门门门门门门}\}\儿童儿童儿童儿童儿童儿童}}\村村（V{{{{{{OT\hat{z}\\\&=V_xw_x+V_yw_y+V_zw_z，{aligned}$

像预期的那样。