三角降幂恒等式

的三角功率降低恒等式允许我们用更小的幂次的三角项来重写包含三角项的表达式。这在一些应用中变得很重要，例如在微积分中对三角表达式的幂积分。

功率降低身份

对于任何一个角 $\θ$，

$\ cos ^ 2 \θ= \压裂{1 + \ cos(2 \θ)},{2}\四\罪^ 2 \θ= \压裂{1 - \ cos(2 \θ)}{2}。$

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证明:

减去这两个恒等式

$\cos(2\) = \cos^2 \ - \sin^2 \$

然后我们有

$\开始{对齐}\ dfrac {1 + \ cos(2 \θ)}{2}& = \ dfrac {1 + \ cos ^ 2 \θ-罪\ ^ 2 \θ}{2}\ \ & = \ dfrac{\大罪(\ \ ^ 2θ+ \ cosθ^ 2 \ \大)+ \ cos ^ 2 \θ-罪\ ^ 2 \θ}{2}\ \ & = \ dfrac {2 \ cos ^ 2 \θ}{2 }\\\\ & = \ 因为^ 2 \θ。\ \ _ \广场结束{对齐}$

利用功率约简公式，可以推导出半张角公式：

半张角公式

对于任何一个角 $\θ$，

${对齐}\因为\ \开始离开(\压裂{\θ}{2}\右)& = \ \下午√6{\压裂{1 + \ cosθ\}{2}}\ \ \罪\离开(\压裂{\θ}{2}\右)& = \ \下午√6{\压裂{1 -θ\因为\}{2}}\ \ \ tan \离开(\压裂{\θ}{2}\右)& = \ \下午√6{\压裂{1 -θ\因为\}{1 + \ cosθ\}}。结束\{对齐}$

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证明:

根据幂次缩减公式，我们有 $\因为^{2}\θ= \压裂{1 + \ cos(2 \θ)}{2}$．替换 $\θ$与 $\压裂{\θ}{2}$,我们获得

${对齐}\ \开始因为^{2}\离开(\压裂{\θ}{2}\右)& = \压裂{1 + \ cosθ\}{2}\ \ \因为\离开(\压裂{\θ}{2}\右)& = \ \下午√6{\压裂{1 + \ cosθ\}{2}}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

用幂减恒等式来表示 $cos^2 \sin^2 \$只用cos和sin的一次方。

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我们有

${对齐}\ \开始离开(θ罪\ cosθ\ \ \ \右)^{2}& = \压裂{1}{4}\离开(2θ罪\ cosθ\ \ \ \右)^{2}\ \ & = \压裂{1}{4}\离开罪恶(\ ^{2}(2θ)\ \)\ \ & = \压裂{1}{4}\离开(\压裂{1 - \ cos(4 \θ)}{2}\)\ \ & = \压裂{1}{8}\大(1 - \ cosθ)(4 \ \大)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

用幂减恒等式来表示 $\因为^ 4 \θ$只用cos和sin的一次方。

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我们有

${对齐}\ \开始因为^{4}\θ& = \离开(\因为^{2}\θ\右)^{2}\ \ & = \离开(\压裂{1 + \ cos(2 \θ)}{2}\)\ \ & = \压裂{1 + 2 \ cos(2 \θ)+ \因为^{2}(2 \θ)}{4}\ \ & = \压裂{1 + 2 \ cos(2 \θ)+ \压裂{1 + \ cos(4 \θ)}{2}}{4}\ \ & = \压裂{2 + 4 \ cos(2 \θ)+ 1 + \ cos(4 \θ)}{8}\ \ & = \压裂{1}{8}\大(\ cos(4 \θ)+ 4 \ cos(2 \θ)+ 3 \大)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

用半角公式来计算 $\cos \左(\frac{\pi}{12} \右)$而且 $\sin \left(\frac{\pi}{12} \右)。$

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在公式 $左(\ \因为\压裂{\θ}{2}\)\ \下午√6{\压裂{1 + \ cosθ\}{2}}$而且 $左(\ \罪\压裂{\θ}{2}\)\ \下午√6{\压裂{1 -θ\因为\}{2}},$我们替换 $\θ$与 $\压裂{\π}{6}:$

${对齐}\因为\ \开始离开(\压裂{\π}{12}\右)& = \ \下午√6{\压裂{1 + \因为\离开(\压裂{\π}{6}\右)}{2 }} \\ & =\ 下午\压裂{\√6{2 + \√{3}}}{2}\{对齐}结束$

$罪\开始{对齐}\ \离开(\压裂{\π}{12}\右)& = \ \下午√6{\压裂{1 - \因为\离开(\压裂{\π}{6}\右)}{2}}\ \ & = \ \下午压裂{\√6 {2 - \ sqrt{3}}}{2}。结束\{对齐}$

作为 $\压裂{\π}{12}$位于第一象限，赋正值 $左(\ \罪\压裂{\π}{12}\右)$而且 $左(\ \因为\压裂{\π}{12}\右)$．

因此 $左(\ \因为\压裂{\π}{12}\右)= \压裂{\√6 {2 + \ sqrt {3}}} {2}$而且 $左(\ \罪\压裂{\π}{12}\右)= \压裂{\倍根号2 - \ sqrt {3}} {} {2}$． $_ \广场$

验证身份

$谭\ \离开(\压裂{\θ}{2}\右)= \压裂{1 -θ\因为\}{\罪\θ},\四\ tan \离开(\压裂{\θ}{2}\右)= \压裂{\罪\θ}{1 + \ cosθ\}。$

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我们有

$\begin{aligned} \tan \left(\frac{\theta}{2} \右)&= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}。结束\{对齐}$

分子分母同时乘以 $大概{1 -θ\因为\}\$

${对齐}\ tan \ \开始离开(\压裂{\θ}{2}\右)& = \ \下午√6{\压裂{(1 - \因为\θ)^ 2}{1 -θ\ cos ^ 2 \}} \ \ & = \ \下午√6{\压裂{(1 - \因为\θ)^ 2}{\罪^ 2 \θ}}\ \ & = \压裂{1 -θ\因为\}{\罪\θ}。结束\{对齐}$

类似地，分子分母同时乘以 $大概{1 + \ cosθ\}\$，

${对齐}\ tan \ \开始离开(\压裂{\θ}{2}\右)& = \ \下午√6{\压裂{1 -θ\ cos ^ 2 \}{(1 + \因为\θ)^ 2}}\ \ & = \ \下午√6{\压裂{\罪^ 2 \θ}{(1 + \因为\θ)^ 2}}\ \ & = \压裂{\罪\θ}{1 + \ cosθ\}。\ \ _ \广场结束{对齐}$