计算形状

当你在玩寻找形状的谜题时，你可以把自己想象成一个数学探险家和动物学家，对图形中每种形状的种群进行分类和计数。当科学冒险家探索东马来西亚的雨林时，他们把成千上万的人在物种中，有些很常见，有些非常罕见。例如，他们仅遇到了大约150种青蛙!

几何狩猎谜题可能是一种非常困难的谜题，即使对那些擅长其他数学类型的人来说也是如此。大多数人在一幅图中至少看不到一种三角形，比如下面这个三角形——要么是最大的，要么是最小的，或者是“倒过来的”三角形。

在寻找这些稀有物种时，你必须既富有创造力又一丝不苟非常很难找到。

典型的例子是如下所示的三角形“火柴”结构。

通常的第一步是简单地枚举所有感兴趣的不同形状类型。通常，找到所有的形状类型是最棘手和潜在的危险步骤——需要一些经验和一丝不苟才能不遗漏任何东西。幸运的是，对于这个问题，列举所有的情况是相对简单的。显然，三角形只有三种可能的尺寸:边长为1、边长为2和边长为3的三角形。

下一步是对不同形状类型进行“普查”。在这个问题中，直接做人口普查是相当直接的。

有 $9$边长为1的三角形:

有 $3.$边长为2的三角形:

最后，只有 $1$边长3的三角形:

因此，总的来说，有 $13$三角形。

这两个步骤通常是同时进行的。有时，选择什么构成“形状类型”(例如，计算一个形状和它的反射为同一类型)可以使形状普查更容易或更困难。如果普查结果是困难的，它可能是值得作出不同的形状类型的选择。许多数据显示出某种程度的对称，使得人口普查直截了当。

在整个过程中，尽可能保持条理会有帮助。位置、大小和方向是组织案例的三种常见方法。例如，可以计算所有的“边长为1的等边三角形”，然后计算所有的“边长为2的等边三角形”，依此类推。或者，也可以根据位置来计算三角形，首先从“图形顶部有角的所有三角形”开始，然后是“图形第二层有最高角的所有三角形”，依此类推。

为了说明这些原理的实际作用，考虑一个稍微复杂一点的例子，即五边形内的一颗星，如下图所示。

第一步是浏览图形并考虑所形成的不同类型的三角形。然而，我们应该使用存在于形状中的自然结构，而不是以一种大杂烩的方式来做这一点。将形成内五边形的顶点标记为红色，而将形成外五边形的顶点标记为蓝色，可以考虑所有仅包含一个、两个或三个(蓝色)外五边形顶点的可能三角形(只有内五边形顶点不能形成三角形)。

实际上，通过这种方式组织统计，人口普查的某些部分就变成了自动的。事实上，甚至没有必要显式枚举所有由三个外部顶点组成的不同三角形。我们可以验证任意三个外部顶点组成一个有效的三角形。因此,使用组合这样的三角形的总数是 $\ binom {5} {3} = 10$．

当考虑到两个外部顶点和一个内部顶点时，情况会稍微复杂一些，因为这些顶点的一些组合是共线的(即位于同一条线上)。此外，每个内顶点只与四个外顶点相连。我们可以这样计算所有的三角形:

或者，我们可以说，对于每个内顶点，必须有 $\ binom {4} {2} = 6$选择两个相连的外顶点的方法，其中 $2$是共线的(因此不构成三角形)。因为有五个内顶点，所以肯定有 $4 \cdot 5 = 20$由两个外顶点和一个内顶点组成的三角形。

最后，它认为每一对内顶点仅与其中一个外顶点形成一个三角形，而外顶点共有 $5$．

总的来说,有 $10 + 20 + 5 = 35$三角形构成图形中的三角形

虽然粗略地列举出所有不同形状的三角形确实很少，但依靠对某些情况的系统计数(例如，由三个外部顶点组成的三角形)和对称论证来减少需要计数的情况大大简化了问题。对于几何计数问题，效率和组织往往是准确性的关键。