与曲线相切

一个切线是在一点上与曲线接触而不穿过曲线的直线。曲线与切线相交的点称为切线点。我们知道这是一条直线 $y = mx + c$它在任意点的斜率是 $米$．这同样适用于曲线。当我们说曲线的斜率时，我们指的是曲线在某一点的切线斜率。

求斜率 $米$在某一点上，我们对曲线方程求导。如果给定的曲线是 $y = f (x),$我们评估 $\frac {dy}{dx}$或 $f (x)$代入的值 $x$求斜率。

对于表单的一行(或任何其他表单) $y = mx + c,$我们只要取任意两个值就能求出它的斜率 $x,$ ${x} _ {1}$而且 ${x} _ {2},$和各自的 $y$值, ${y} _ {1}$而且 ${y} _ {2}$．根据公式求斜率 $谭\ \θ= \压裂{{y} _ {1} - {y} _ {2}} {{x} _ {1} - {x} _ {2}}$．在曲线的情况下，我们的方法有些不同。在上面的例子中，我们有 $\δy = {y} _ {1} - {y} _ {2}$而且 $\δx = {x} _ {1} - {x} _ {2}$．现在我们需要求曲线某一点的切线的斜率。为了做到这一点，我们再次需要

$谭\ \θ= \压裂{{y} _ {1} - {y} _ {2}} {{x} _ {1} - {x} _ {2}},$

但这一次 $\δy$而且 $\δx$趋于0，这意味着区间非常小因为它是在某一点上的切线。

注意到有颜色的 $x_1$而且 $x_2$再靠近一点，切线就会移到图上的一点。

当这种情况发生时，我们替换

$\frac {\Delta y}{\Delta x}\quad \text{with}\quad \frac {dy}{dx}$

因此找到 $\frac {dy}{dx}。$ $_ \广场$

曲线的斜率是多少 $y = x ^ 4 x ^ 3$在 $x = 1 ?$

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给定的曲线是 $y = x ^ 4 x ^ 3。$评估 $\frac {dy}{dx}，$我们有

$\压裂{dy} {dx} = 4 x ^ 3-3x ^ 2。$

替换 $x = 1$这给了

$\离开了。正确\压裂{dy} {dx} \ \ rvert _ {x = 1} = 4 - 3 = 1。$

因此，给定曲线在 $x = 1$是 $1.$ $_ \广场$

如果曲线 $y = 2 x ^ 3-bx + a$通过 $(2)$它的斜率是 $x = 1$是 $5，$的值是多少 $一个$而且 $b ?$

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给定的曲线是 $y = 2 x ^ 3-bx + a。$评估 $\frac {dy}{dx}$,我们有

$\压裂{dy} {dx} = 6 x ^ 2 b。$

替换 $x = 1$给了

$\压裂{dy} {dx} = 6 b。$

因为曲线的斜率在 $x = 1$是 $5，$我们有

$6 b = 5 \意味着b = 1。$

现在,用 $(2)$成 $y = 2 x ^ 3-bx + a$给了

$19 = 2(2 ^ 3) 2 + \意味着= 5。$

因此, $一个= 5$而且 $b = 1。$ $_ \广场$